关于欧几里得算法及其扩展

一、欧几里得算法（辗转相除法）

 

 1、问题：求解两个非负整数a、b的最大公约数。

 2、算法理解：假设整数d是a、b的公约数，即d能整除a和b。令r=a%b（a对b取余），则d也是r的一个约数。理解为a中除去b的整数倍部分，剩余的部分也一定是d的整数倍。因为d既是b的约数，又是r的约数，所以d是b和r的公约数！由于这里的d是一般假设的，所以可知a和b所有的公约数d都是b和r的公约数，所以b和r的最大公约数一定就是a、b的最大公约数。将b、r作为新的a、b，按此规律层层下剥，最后当a能整除b，则它的下一次a，b两个数变成b和0，最大公约数便是此时的b了。

 

 3、Java代码实现：

 /**
* 返回两个非负整数的最大公约数。
* @param num1
* @param num2
* @return
*/
public static int operation1(int num1,int num2){
if(num2==0)//分母为0，则分子num1为最大公约数。
return num1;
int r=num1%num2;
return operation1(num2,r);//num2和r的最大公约数即为原num1和num2的最大公约数。
}

上述方法体更简洁的写法是：
return num2==0?num1:operation1(num2,num1%num2);

根据辗转相除的思想也可用循环实现:
public static int operation2(int num1,int num2){
if(num2==0)
return num1;
int r;//余数。
while(num2!=0){
r=num1%num2;//num2和r的最大公约数即为原num1和num2的最大公约数。
num1=num2;
num2=r;
}
return num1;
}

二、扩展欧几里得算法

 1、问题：

 一句话，求满足条件：ax+by=r的x、y的值，其中a、b为不全为0非负整数，r为a和b的最大公约数，

 x、y均为整数。

 2、算法理解：

  设ax1+by1=gcd(a,b)=r,由欧几里得算法则有bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)=r,因为等式右边r保持不变，

 便有：ax1+by1=bx2+(a%b)y2

又a%b=(a-[a/b]*b), 其中[a/b]表示a/b结果取整,所以上式

 变为：ax1+by1=bx2+(a-[a/b]*b)y2,

 整理得：ax1+by1=ay2+b(x2-[a/b]),两边对应起来，

 则有：x1=y2,y1=x2-[a/b]

  由欧几里得算法逐次递归下去，每“相邻”两层都会满足上述等式关系，由于最后一层有等式：

  ax+by=r，其中b=0,r=a，得出：x=1,y=0。

 从最后依次回代入上一层，最终便可得出x1，y1的值，有此也可知，x1，y1的值是唯一的。

 3、Java代码实现：

  public static int gcdExtends(int num1,int num2){
if(num2==0){
x=1;
y=0;
return num1;
}
int r=gcdExtends(num2,num1%num2);
int temp=x;
x=y; //由公式演算可得“相邻”两组x、y的关系。
y=temp-num1/num2*y;
return r;
}