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前言：Java数据结构与算法专题会不定时更新，欢迎各位读者监督。本篇主要介绍二叉树的概念、二叉树的表示、二叉树的操作（三种遍历方式实现、求二叉树的子树、求节点的父节点、二叉树高度....），可能是考试中的，也可能是面试中的。
1、二叉树
1.二叉树的定义
二叉树（Binary Tree）是有限个节点的集合，这个集合可以是空集，也可以是一个根节点和两颗不相交的子二叉树组成的集合，其中一颗树叫根的左子树，另一颗树叫右子树。所以二叉树是一个递归地概念。
值得注意的是二叉树规定自己可以使空集，而且很明确的区分了一个根节点的两个子树分别是左子树和右子树，如下图所示的两棵树就不是同一棵树。
2.两种特殊的二叉树
2.1 满二叉树（Full Binary Tree）
一棵满二叉树就是高度为k，且拥有(2^k)-1个节点的二叉树，一棵满二叉树每个节点，要么都有两棵子树，要么都没有子树；而且每一层所有的节点之间必须要么都有两棵子树，要么都没子树。
2.2 完全二叉树（Complete Binary Tree）
完全二叉树是一颗特殊的二叉树，它遵循以下规则：
假设完全二叉树高度为k，则完全二叉树需要符合以下两点：
1）所有叶子节点都出现在k层或k-1层，并且从1~k-1层必须达到最大节点数。
2）第k层可以是不满的，但是第k层的所有节点必须集中在最左边。
3.二叉树的实现
二叉树的实现要比普通树容易，因为其每个节点最多只有两个子节点
其实，二叉树的每个左右子节点仍是一颗二叉树，因此，我们可以使用递归的方式来定义二叉树，二叉树的实现代码如下
public class BinaryTreeNode {
private int data; //数据
private BinaryTreeNode leftChirld; //左孩子
private BinaryTreeNode rightChirld; //右孩子
public int getData() {
return data;
}
public void setData(int data) {
this.data = data;
}
public BinaryTreeNode getLeftChirld() {
return leftChirld;
}
public void setLeftChirld(BinaryTreeNode leftChirld) {
this.leftChirld = leftChirld;
}
public BinaryTreeNode getRightChirld() {
return rightChirld;
}
public void setRightChirld(BinaryTreeNode rightChirld) {
this.rightChirld = rightChirld;
}
}这种实现方式称之为二叉树的左右链表表示法，如图所示
到此为止，二叉树的节点已经有了，接下来是对二叉树的操作，比如创建二叉树、添加元素、清空元素、遍历二叉树...
3.1 二叉树的创建
创建二叉树，一般有两种情况：初始化一个根节点或者初始化一棵空二叉树。代码如下：
public class BinaryTree {
private BinaryTreeNode root;
//初始化二叉树
public BinaryTree(){}
public BinaryTree(BinaryTreeNode root){
this.root = root;
}
public void setRoot(BinaryTreeNode root){
this.root = root;
}
public BinaryTreeNode getRoot(){
return root;
}
}3.2 二叉树的清空
对于二叉树的清空，首先提供一个清空某个节点为根节点的子树的方法，即递归的删除每个节点；接着提供删除一个删除树的方法：
/**
* 二叉树的清空：
* 首先提供一个清空以某个节点为根节点的子树的方法，既递归地删除每个节点；
* 接着提供一个删除树的方法，直接通过第一种方法删除到根节点即可
*/
//清除某个子树的所有节点
public void clear(BinaryTreeNode node){
if(node!=null){
clear(node.getLeftChirld());
clear(node.getRightChirld());
node = null; //删除节点
}
}
//清空树
public void clear(){
clear(root);
}3.3 判断二叉树是否为空
只需判断根节点是否存在即可：
//判断二叉树是否为空
public boolean isEmpty(){
return root == null;
}3.4 求二叉树的高度
思路：首先需要一种获取以某个节点为子树的高度方法，使用递归实现。如果一个节点为空，那么这个节点肯定是一颗空树，高度为0；如果不为空，则遍历地比较它的左右子树高度，高的一个为这颗子树的最大高度，然后加上自身的高度即可
/**
* 求二叉树的高度：
* 首先要一种获取以某个节点为子树的高度的方法，使用递归调用。
* 如果一个节点为空，那么这个节点肯定是一颗空树，高度为0；
* 如果不为空，那么我们要遍历地比较它的左子树高度和右子树高度，
* 高的一个为这个子树的最大高度，然后加上自己本身的高度就是了
* 获取二叉树的高度，只需要调用第一种方法，即传入根节点
*/
//获取二叉树的高度
public int heigh(){
return heigh(root);
}
//获取以某节点为子树的高度
public int heigh(BinaryTreeNode node){
if(node==null){
return 0; //递归结束，空子树高度为0
}else{
//递归获取左子树高度
int l = heigh(node.getLeftChirld());
//递归获取右子树高度
int r = heigh(node.getRightChirld());
//高度应该算更高的一边，（+1是因为要算上自身这一层）
return l>r? (l+1):(r+1);
}
}3.5 求二叉树的节点数
思路：获取二叉树节点数，需要获取以某个节点为根的子树的节点数实现。
如果节点为空，则个数肯定为0；如果不为空，则算上这个节点之后，继续递归计算所有子树的节点数，全部相加即可
/**
* 获取二叉树的节点数
*/
public int size(){
return size(root);
}
/**
* 求二叉树的节点数：
* 求节点数时，我们看看获取某个节点为子树的节点数的实现。
* 首先节点为空，则个数肯定为0；
* 如果不为空，那就算上这个节点之后继续递归所有左右子树的子节点数，
* 全部相加就是以所给节点为根的子树的节点数
* 如果求二叉树的节点数，则输入根节点即可
*/
public int size(BinaryTreeNode node){
if(node==null){
return 0; //如果节点为空，则返回节点数为0
}else{
//计算本节点 所以要+1
//递归获取左子树节点数和右子树节点数，最终相加
return 1+size(node.getLeftChirld())+size(node.getRightChirld());
}
}3.6 返回某节点的父亲节点
思路：首先，同样需要通过一种方法来获取某个节点在某个子树中的父节点，这里使用递归实现，接着通过这种方法获取这个节点在二叉树中的父节点
事实上，以现有的这种二叉树的形式，我们并没有办法直接获取一个节点的父节点， 这里只能通过从根节点遍历来比较获取
//node节点在subTree子树中的父节点
public BinaryTreeNode getParent(BinaryTreeNode subTree,BinaryTreeNode node){
if(subTree==null){
return null; //如果是空子树，则没有父节点
}
if(subTree.getLeftChirld()==node || subTree.getRightChirld() == node){
return subTree; //如果子树的根节点的左右孩子之一是待查节点，则返回子树的根节点
}
BinaryTreeNode parent = null;
if(getParent(subTree.getLeftChirld(),node)!=null){
parent = getParent(subTree.getLeftChirld(),node);
return parent;
}else{
//递归左右子树
return getParent(subTree.getRightChirld(),node);
}
}
//查找node节点在二叉树中的父节点
public BinaryTreeNode getParent(BinaryTreeNode node){
return (root==null||root==node)? null:getParent(root,node);
}3.7 返回左右子树
这个操作很简单，直接用节点的方法来获取即可
//获取某个节点的左子树
public BinaryTreeNode getleftTree(BinaryTreeNode node){
return node.getLeftChirld();
}
//获取某个节点的右子树
public BinaryTreeNode getrightTree(BinaryTreeNode node){
return node.getRightChirld();
}3.8 二叉树的插入
二叉树的插入分析：
* 分两种情况：插入某个节点的左子节点；插入某个节点的右子节点
* 值得指出的是，当这个节点本身有子节点时，这样的插入也会覆盖原来在这个位置上的节点。
* 另外，虽然插入的是子节点，但是子节点也可以代表一颗子树。
* 因为但从这个节点来看并不知道这个节点是否有左右子树存在，所以虽然插入的是一个节点，但有可能
* 插入可很多节点（插入的是一颗子树） //给某个节点插入左节点
public void insertLeft(BinaryTreeNode parent,BinaryTreeNode newnode){
parent.setLeftChirld(newnode);
}
//给某个节点插入右节点
public void insertRitht(BinaryTreeNode parent,BinaryTreeNode newnode){
parent.setRightChirld(newnode);
}4、二叉树的遍历
二叉树的遍历是按照一定的规律来顺序遍历各二叉树节点，使得每个节点都会被访问且仅访问一次。通常二叉树的遍历根据根节点的遍历次序分为：先根遍历、中根遍历、后根遍历。
4.1 先根遍历(PreOrder)
若二叉树为空，则退出，否则进行下面操作
- 访问根节点
- 先根遍历左子树
- 先根遍历右子树
- 退出
按照先根遍历地方式，遍历如下二叉树，则访问顺序为：A、B、D、H、I、E、J、C、F、G
public void PreOrder(BinaryTreeNode node){
if(node!=null){
System.out.println(node.getData()); //先访问根节点
PreOrder(node.getLeftChirld()); //先根遍历左子树
PreOrder(node.getRightChirld()); //先根遍历右子树
}
}4.2 中根遍历(InOrder)
若二叉树为空，则退出，否则进行下面操作
- 中根遍历左子树
- 访问根节点
- 中根遍历右子树
- 退出
按照中根遍历地方式，遍历如下二叉树，则访问顺序为：H、D、I、B、J、E、A、F、C、G
public void InOrder(BinaryTreeNode node){
if(node!=null){
InOrder(node.getLeftChirld()); //中根遍历左子树
System.out.println(node); //访问根节点
InOrder(node.getRightChirld()); //中根遍历右子树
}
}4.3 后根遍历(PostOrder)
若二叉树为空，则退出，否则进行下面操作
- 后根遍历左子树
- 后根遍历右子树
- 访问根节点
- 退出
按照后根遍历地方式，遍历如下二叉树，则访问顺序为：H、I、D、J、E、B、F、G、C、A
public void PostOrder(BinaryTreeNode node){
if(node!=null){
PostOrder(node.getLeftChirld()); //后根遍历左子树
PostOrder(node.getRightChirld()); //后根遍历右子树
System.out.println(node); //访问根节点
}
}
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