【虚树+容斥/动态DP+容斥】BZOJ5287 [HNOI2018] 毒瘤
【题目】
BZOJ
luogu
求图的最大独立集方案数。 n ≤ 1 0 5 , n − 1 ≤ m ≤ n + 10 n\leq 10^5,n-1\leq m\leq n+10 n≤105,n−1≤m≤n+10
【解题思路】
非树边只有 11 11 11条。
树的最大独立集可以用一个朴素的最大独立集来做，我们枚举非树边中高的一点的状态，每种状态做一次 DP \text{DP} DP，可以做到 O ( 2 m − n + 1 n ) O(2^{m-n+1}n) O(2m−n+1n)
不难想到一类树上 NP \text{NP} NP问题的套路——动态 DP \text{DP} DP，于是这道题可以做到 O ( 2 m − n + 1 log n + n log n ) O(2^{m-n+1}\log n+n\log n) O(2m−n+1logn+nlogn)，这里需要用 DFS \text{DFS} DFS去枚举状态。
实际上由于转移矩阵中很多都不会受到影响，我们可以考虑建出虚树，在虚树上进行 DP \text{DP} DP，就可以做到 O ( n + S ⋅ 2 m − n + 1 ) O(n+S\cdot 2^{m-n+1}) O(n+S⋅2m−n+1)，这里 S S S是虚树上节点个数。
【参考代码】
#include
for(int i=vt.head[x];i;i=vt.e[i].nex) prework(vt.e[i].v),getmat(vt.e[i].v,x);
f[x][0]=f[x][1]=1;
for(int i=T.head[x];i;i=T.e[i].nex)
{
int v=T.e[i].v;
if(invt[v] || fg[i] || v==fa[0][x]) continue;
predp(v,0);
f[x][0]=(ll)f[x][0]*(f[v][0]+f[v][1])%mod;
f[x][1]=(ll)f[x][1]*f[v][0]%mod;
}
}
void dp(int x)
{
g[x][0]=f[x][0];g[x][1]=f[x][1];
//printf("%d %d\n",f[x][0],f[x][1]);
for(int i=vt.head[x];i;i=vt.e[i].nex)
{
int v=vt.e[i].v;dp(v);
int f0=((ll)k[v][0][0]*g[v][0]+(ll)k[v][1][0]*g[v][1])%mod;
int f1=((ll)k[v][0][1]*g[v][0]+(ll)k[v][1][1]*g[v][1])%mod;
g[x][0]=(ll)g[x][0]*(f0+f1)%mod;g[x][1]=(ll)g[x][1]*f0%mod;
}
if(c[x]==1) g[x][0]=0;
if(c[x]==-1) g[x][1]=0;
}
void solve()
{
dfs(1,0);buildvt();
//cerr<
prework(1);
for(int S=0;S<fc[cnt];++S)
{
for(int i=1;i<=cnt;++i) c[p[i]]=(S&fc[i-1])?1:-1;
bool flag=0;
for(int i=1;i<=K;++i) if(c[a[i].fi]==1 && c[a[i].se]==1) {flag=1;break;}
if(flag) continue;
dp(1);ans=((ll)ans+g[1][0]+g[1][1])%mod;
}
printf("%d\n",ans);
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("BZOJ5287.in","r",stdin);
freopen("BZOJ5287.out","w",stdout);
#endif
Tree::init();Tree::solve();
return 0;
}
这里把shadowice1984 的动态DP也贴上
#include