第一类斯特林数小结
第一类斯特林数
s 1 n m s1_n^m s1nm表示将 n n n个数放进 m m m个圆排列的方案数。
有一个显然的递推式：
s 1 n m = s 1 n − 1 m − 1 + ( n − 1 ) s 1 n − 1 m s1_n^m=s1_{n-1}^{m-1}+(n-1)s1_{n-1}^m s1nm=s1n−1m−1+(n−1)s1n−1m，对应的意义：要么第 n n n个单独构成一个新的圆排列，要么放在之前某个数的后面。
还有一种组合意义：一共进行 n n n次操作，第 i i i次可以添加跟第 1 1 1~ i − 1 i-1 i−1中任意一种物品相同的旧物品或者添加一种新物品，问最后一共有 m m m中不同物品的方案数，由此可以推出第一类斯特林数的生成函数：
∏ i = 0 n − 1 ( x + i ) \prod_{i=0}^{n-1}(x+i) ∏i=0n−1(x+i)
到这里就有两种挺明显的预处理斯特林数方法了：
- 如果要求出每一个 s 1 i j s1_i^j s1ij，可以用 O ( n m ) O(nm) O(nm)递推
- 如果只用求出每一个 s 1 a k , a s1_a^k,a s1ak,a为定值，可以上分治 f f t fft fft做到 O ( n l o g 2 n ) O(nlog^2n) O(nlog2n)
但有些毒瘤出题人偏偏会卡你的分治 f f t fft fft，需要我们在更短的时间内求出某一行的值。
于是就有了下面的倍增算法：
假设我们已经求出了 f n ( x ) = ∏ i = 0 n − 1 ( x + i ) = ∑ i = 0 n a i x i f_n(x)=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)=\sum_{i=0}^na_ix^i fn(x)=∏i=0n−1(x+i)=∑i=0naixi的系数数组 a a a
现在要求的是 f 2 n ( x ) = ∏ i = 0 2 n − 1 ( x + i ) f_{2n}(x)=\prod_{i=0}^{2n-1}(x+i) f2n(x)=∏i=02n−1(x+i)
那么相当于只用求一个 g n ( x ) = ∏ i = n 2 n − 1 ( x + i ) g_n(x)=\prod_{i=n}^{2n-1}(x+i) gn(x)=∏i=n2n−1(x+i)，这样 f 2 n ( x ) = f n ( x ) g n ( x ) f_{2n}(x)=f_n(x)g_n(x) f2n(x)=fn(x)gn(x)
然后进入退式子环节：
g n ( x ) = ∏ i = n 2 n − 1 ( x + i ) = ∏ i = 0 n − 1 ( x + n + i ) = ∑ i = 0 n a i ( x + n ) i g_n(x)=\prod_{i=n}^{2n-1}(x+i)=\prod_{i=0}^{n-1}(x+n+i)=\sum_{i=0}^na_i(x+n)^i gn(x)=∏i=n2n−1(x+i)=∏i=0n−1(x+n+i)=∑i=0nai(x+n)i
把后面的 ( x + n ) i (x+n)^i (x+n)i给二项式展开一波：
g n ( x ) = ∑ i = 0 n a i ∑ j = 0 i C i j x j n i − j g_n(x)=\sum_{i=0}^na_i\sum_{j=0}^iC_i^jx^jn^{i-j} gn(x)=∑i=0nai∑j=0iCijxjni−j
然后拆开 C i j C_i^j Cij并改变枚举顺序
⇒ g n ( x ) = ∑ j = 0 n x j j ! ∑ i = j n a i i ! ∗ n j − i ( j − i ) ! \Rightarrow g_n(x)=\sum_{j=0}^n\frac{x^j}{j!}\sum_{i=j}^na_ii!*\frac{n^{j-i}}{(j-i)!} ⇒gn(x)=∑j=0nj!xj∑i=jnaii!∗(j−i)!nj−i
然后将 n j − i ( j − i ) ! \frac{n^{j-i}}{(j-i)!} (j−i)!nj−i这个数组给 r e v e r s e reverse reverse一下就变成了卷积的形式，可以用 f f t fft fft处理后面一坨。
这样就做完了。
代码：
//mul函数是自己封装的多项式乘法函数
int n,A,B,a[N],b[N],pos[N],pw[N],tmp[N],fac[N],ifac[N],lim,tim;
inline void solve(int len){
if(len==1){a[1]=1;return;}
if(len&1){
solve(len-1);
for(ri i=len;i;--i)a[i]=add(a[i-1],mul(a[i],len-1));
return;
}
solve(len>>1);
init(len);
int mid=len>>1;
pw[0]=1;
for(ri i=1;i<=mid;++i)pw[i]=mul(pw[i-1],mid);
for(ri i=0;i<=mid;++i)tmp[i]=mul(a[i],fac[i]),b[i]=mul(pw[i],ifac[i]);
for(ri i=mid+1;i<lim;++i)tmp[i]=b[i]=0;
reverse(b,b+mid+1);
mul(tmp,b);
for(ri i=0;i<=mid;++i)b[i]=mul(b[i+mid],ifac[i]);
for(ri i=mid+1;i<lim;++i)b[i]=0;
mul(b,a);
}
一道板题：codeforces960G
推出来式子是 C a + b − 2 a − 1 s 1 n − 1 a + b − 2 C_{a+b-2}^{a-1}s1_{n-1}^{a+b-2} Ca+b−2a−1s1n−1a+b−2，这个组合意义很简单，然后套上板子即可。
代码：
#include