补码为什么这么好计算

本文基于一定的前提，譬如：您已经知道了计算机是01二进制世界，无符号数主要用于逻辑运算，而有符号数用于算术运算。

有符号数有：原码，补码，反码，移码等表示。

原码便于人类阅读和计算，但是不利于计算机进行运算，因此有了补码。

那么补码为什么便于运算呢？

其实从补码定义的公式时很方便就推导出这个结论的，但是公式背后的含义呢？由于需要分的场景比较多，有9种，此处以一正一负展开讨论。由于随性而写，并没有很好地展示出补码的意义，有兴趣的读者可以再推究到其他场景体悟总结。

首先我们要明白，原码的计算不便主要是在异号的时候，同号其实是很方便的。如  1001 0001 + 1100 0101 = 1101 0110 (符号位不参与计算，其余位直接相加即可。若有到符号位的进位就是溢出了，这又是另外一个问题)。不方便的地方是异号计算，也就是两个正数相减是很难的。它的步骤如下：

1. 比较A,B绝对值大小，即抛开最高位符号位不看，剩下的数值谁更大
2. 结果的符号位按绝对值更大方来取
3. 大的绝对值减去小的绝对值，获得的正数为最终的绝对值

如 17 - 69 = 0001 0001 + 1100 0101 = 1011 0100 = -52

显然，在原码中，减法运算足足比加法运算多了两个步骤，都是为了符号做判断的，这太浪费了。

如果以原码加法作为最基础的运算，我们可以尝试解决这个问题——为正负号判断而多做的两步能否在相加的时候一起解决？

答案当然是肯定的，这就是补码应运而生的原因。我们来看看补码的规则：

1. 原码为正时，补码不变；
2. 原码为负时，原码的符号位不变，其余位按位取反，末位加一得到补码。此处应当进一步解读，补码的数值位其实是分为高低位的，而这个高低位的划分方式是根据负数时最后一个1的位置来的。例如 1001 0001 则高位为1001 0000，低位为0001；0111 1100的高位为0111 1000，低位为0100 。按高低位区分后，设X为原码，X补 = X高反 + X低。而X + X反 = 2^n - 1(n为符号位，譬如八位有符号数 0000 0001 与其反码 0000 1110 相加为 0111 1111 = 2^7 - 1，而符号位就是7)。因此：X反 = 2^n - 1 - X，这个结论将是补码优化减法的关键。

既然我们希望补码无论是加法还是减法，都能够直接相加得出结果，那么补码的加法其实和原码加法是一样的。因此正数的时候与源码保持一致就可以解决了。

而减法就是正数A+负数B，在原码中需要比对|A|,|B|大小并将绝对值大的符号位设为结果的符号位。而反码中就是一步到位，那么

1. 符号位参与计算，显然在发生进位前，符号位一定是1，对于原码来说，相当于先将结果假设为负的。
2. 如果数值位的加法发生了进位，则符号位变号，结果变成了正数；如果数值位不进位，则结果维持负数。
3. 根据前文补码的规则中提到，补码与原码关于高低位的对应关系，以及反码与原码的等式。可以得到补码的计算原理：

设A,B为两个绝对值（也就是抛出符号位的数值），由于B与-B只是符号位相反，因此为了方便书写，将[-B]高简记作B高，将[-B]补记作B补。A高的位数选择由B高决定（因为我们已经约定了补码的高低位由负数决定，正数是不存在这一特征的。）

由于A高 ≤ 2^n - 1 ,B高 >= 0，因此A高 + B高 = A高 - B高 ≤ 2^n - 1。（此处n为A高的位数，而非整个A的位数）也就是说，

 

1.A高 < B高 => A高 + x= B高，

2.A高 = B高，

3.A高 > B高 => A高 = B高 + x。

1 ≤ x ≤ 2^n - 1

 

下面我们先研究补码运算的符号正确性：

1.则当A高 > B高 => A高 = B高 + x 的时候，A补高 + B补高 = A高 + B高反 = A高 + 2^n - 1 - B高 =  2^n + x - 1 ∈ [2^n,2*(2^n - 1)]，余数为2^n则符号位需要进一位，从1变为0，2*(2^n - 1) ＜ 2*2^n ，因此只够进一位，不足以进位到符号位之前去。因此在补码运算中，若正数的绝对值大于负数的绝对值，相加后结果也为正。

eg：A = 69 = 0100 0101,B = 17 = 0001 0001,-B = 1001 0001，记B补 = [-B]补 = 1110 1111（其实这是错的，此处仅为书写方便，因为B为正数，B补高 = B高，这个符号用不上）。

+A高 = 10 0010，+B高 = 00 1000，x = 01 1010，A补高 - B补高 = A高 - B高反 =  010 0010 + 111 0110 = 001 1000。结果C的高位C高已经变成正号。(最终计算的时候要带上符号位）

2.A高 = B高时，x = 0，因此：A补高 + B补高 = A高 + B高反 = B高 + B高反 = 2^n - 1，也就是1...1(有n个1)。显然，若低位进位则为正，否则为负。而低位的结构为10...0(m个0，且m+n为B的位数)，因此低位是否进位完全取决于A的低位是否为1开头。显然若A低0开头则A < B，不进位，那么A - B为负。若A低1开头，则A ≥ B，进位，A - B 为正。注意，[+0]补 = [-0]补 = 0...0 。因此结果的正负号正确。

3.A高 < B高，显然与1是完全一样的道理，不再赘述。

 

现在来看计算值的正确性：

先看补码定义中X为负时，[X]补 = 2^n - |X|。

因此，C补 = A补 + B补 = A + 2^n - |B|，|C| = 2^n - C补 = 2^n - A - 2^n + |B| = |B| - A.