背包问题详解
背包问题的大意：
有n种物品，每种物品有一个重量w[i]、一个价值c[i]和这种物品的数量s[i]。背包最大能承受的重量为v，求能带走物品的最大价值。
背包问题有几个种类：01背包，完全背包，多重背包，混合背包等。
01背包：
每一种物品只能取一个，即数量为1。
设置一维数组res[maxweight of backpack+1]，res[i]表示容量为i时的最大价值。
01背包框架：
for i = 1 to count of items do for j = maxweight of backpack to weight of item i do res[j] = max of res[j] and res[j - weight of item i] + price of item i
result = res[maxweight of backpack]
例题：
Problem A: 采药
Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 128 MB
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Description
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
Input
输入文件medic.in的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T 代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包 括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
Output
输出文件medic.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
Sample Input
70 3
71 100
69 1
1 2
Sample Output
3- Submit
- Solution
参考代码如下：
// p1026a.cpp
#if 0
Sample Input
70 3
71 100
69 1
1 2
Sample Output
3
#endif
#include
#define SIZE 100001
#define NUM 101
using namespace std;
int res[SIZE], v[NUM], c[NUM];
int main(int argc, char** argv)
{
int t, n, i, j;
cin >> t >> n;
for (i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> v[i] >> c[i];
}
for (i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = t; j >= v[i]; j--)
{
if (res[j] < res[j-v[i]] + c[i])
{
res[j] = res[j-v[i]] + c[i];
}
}
}
cout << res[t] << endl;
return 0;
}
完全背包：
每种物品有无限个，可以取任意次数。
完全背包框架：
for i = 1 to count of items do
for j = weight of item i to maxweight of backpack do
res[j] = max of res[j] and res[j - weight of item i] + price of item i
result = res[maxweight of backpack]
这里不多说，上例题。
Problem L: 竞赛总分
Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 128 MB
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- Solution
Description
学生在我们USACO的竞赛中的得分越多我们越高兴。我们试着设计我们的竞赛以便人们能尽可能的多得分。现在要进行一次竞赛，总时间T固定，有若干类型可选择的题目，每种类型题目可选入的数量不限，每种类型题目有一个si(解答此题所得的分数)和ti(解答此题所需的时间)，现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的总分最大。
输入包括竞赛的时间,M(1 <= M <= 10000)和题目类型数目N(1 <= N <= 10000)。
后面的每一行将包括两个整数来描述一种"题型":
第一个整数说明解决这种题目能得的分数(1 <= points <= 10000),第二整数说明解决这种题目所需的时间(1 <= minutes <= 10000)。
Input
第 1 行: 两个整数：竞赛的时间M和题目类型数目N。 第 2-N+1 行: 两个整数：每种类型题目的分数和耗时。
Output
单独的一行，在给定固定时间里得到的最大的分数。
Sample Input
300 4 100 60 250 120 120 100 35 20Sample Output
605
参考代码：
#include
#define SIZE 100001
#define NUM 101
using namespace std;
int res[SIZE], v[NUM], c[NUM];
int main(int argc, char** argv)
{
int t, n, i, j;
cin >> t >> n;
for (i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> c[i] >> v[i];
}
for (i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = v[i]; j <= t; j++)
{
res[j] = max(res[j], res[j-v[i]] + c[i]);
}
}
cout << res[t] << endl;
return 0;
} 多重背包：
每种物品有一个数量，表示最多取这么多个。
暴力转换01背包显然超时。
框架：
for i = 1 to count of items do
for j = maxweight of backpack to 0 do
for k = 0 to maxcount of item i do
if weight of item i * k > maxweight of backpack
break
res[j] = max of res[j] and res[j - weight of item i * k] + price of item i * k
result = res[maxweight of backpack]
例题：
Problem K: 逃亡的准备
Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 128 MB
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- Solution
Description
在《Harry Potter and the Deathly Hallows》中，Harry Potter他们一起逃亡，现在有许多的东西要放到赫敏的包里面，但是包的大小有限，所以我们只能够在里面放入非常重要的物品，现在给出该种物品的数量、体积、价值的数值，希望你能够算出怎样能使背包的价值最大的组合方式，并且输出这个数值，赫敏会非常地感谢你。
Input
（1）第一行有2个整数，物品种数n和背包装载体积v。
（2）2行到i+1行每行3个整数，为第i种物品的数量m、体积w、价值s。
Output
输出文件hallows.out仅包含一个整数，即为能拿到的最大的物品价值总和。
Sample Input
2 10 3 4 3 2 2 5Sample Output
13代码:
#include
#define SIZE 100001
#define NUM 10001
using namespace std;
int res[SIZE], v[NUM], c[NUM], s[NUM];
int main(int argc, char** argv)
{
int t, n, i, j, k;
cin >> n >> t;
for (i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> s[i] >> v[i] >> c[i];
}
for (i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = t; j >= 0; j--)
{
for (k = 0; k <= s[i]; k++)
{
if (j < v[i] * k)
{
break;
}
res[j] = max(res[j], res[j-k*v[i]] + k * c[i]);
}
}
}
cout << res[t] << endl;
return 0;
} 混合背包：
有点物品能取无限次（完全背包），有的只能取有限次（多重背包）。
可以分解成两种背包类型。
框架：
for i = 1 to count of items do
if maxcount of item i is not INF
for j = maxweight of backpack to 0 do
for k = 0 to maxcount of item i do
if weight of item i * k > maxweight of backpack
break
res[j] = max of res[j] and res[j - weight of item i * k] + price of item i * k
if maxcount of item i is INF
for j = weight of item i to maxweight of backpack do
res[j] = max of res[j] ans res[j-weight of item i] + price of item i
result = res[maxweight of backpack]