「ZJOI2019」Minimax搜索-动态DP
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Solution
考虑差分，求出 w ( S ) ≤ k w(S)\leq k w(S)≤k的集合数。
- 显然， w w w的值域是连续的。所以 w w w只会变成 w + 1 w+1 w+1或 w − 1 w-1 w−1。
- 显然， w ( S ) ≤ 1 w(S)\leq 1 w(S)≤1的集合数为 2 m − 1 2^{m-1} 2m−1，所以接下来讨论的时候默认 w w w节点不会修改。
- 可以发现 w ( s ) ≤ k w(s)\leq k w(s)≤k等价于把 S S S中所有 < w < w <w的叶子的权值改为 w + 1 w+1 w+1或把所有 > w > w >w的权值改为 w + 1 w+1 w+1（如果能改的话）后，根节点的权值改变。
考虑方案数不好合并，用概率替代。
设 f i f_i fi表示 i i i节点的元素 < w < w <w的概率， g i g_i gi表示 i i i节点的元素 > w >w >w的概率。
最终答案为 2 m − 1 ( 1 − f 1 ) ( 1 − g 1 ) 2^{m-1}(1-f_1)(1-g_1) 2m−1(1−f1)(1−g1)
转移如下
{ f u ′ = ∏ v ∈ s o n u ( 1 − f v ′ ) f u ′ = [ d e p u m o d 2 = 0 ] ( 1 − f u ) [ d e p u m o d 2 = 1 ] f u \begin{cases} f_u'=\prod_{v \in son_u}(1-f_v') \\f_u'=[dep_u \ mod \ 2 =0](1-f_u)[dep_u \ mod \ 2 =1]f_u\end{cases} {fu′=∏v∈sonu(1−fv′)fu′=[depu mod 2=0](1−fu)[depu mod 2=1]fu
{ g u ′ = ∏ v ∈ s o n u ( 1 − g v ′ ) g u ′ = [ d e p u m o d 2 = 1 ] ( 1 − g u ) [ d e p u m o d 2 = 0 ] g u \begin{cases} g_u'=\prod_{v \in son_u}(1-g_v') \\g_u'=[dep_u \ mod \ 2 =1](1-g_u)[dep_u \ mod \ 2 =0]g_u\end{cases} {gu′=∏v∈sonu(1−gv′)gu′=[depu mod 2=1](1−gu)[depu mod 2=0]gu
这样除了初值可以避免奇偶性的讨论，正确性感性理解就好了。
这样可以写 70 70 70分（不是我的）。
可以发现随着 R R R的增大，每次最多只会有两个叶子节点发生改变。所以维护 f i ′ f_i' fi′之积，动态 D P DP DP即可。
tips:由于会出现除 0 0 0乘 0 0 0的情况，所以用数对 ( x , y ) (x,y) (x,y)表示原 D P DP DP值 x ⋅ 0 y x\cdot 0^y x⋅0y即可。
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