摘自《Essence of linear algebra》系列视频，非常精彩。B站上有全集～

Dot Product

我们都知道，向量的点积是这么做的：

其几何解释为投影相乘：

通过投影，我们可以理解为什么点积为0（正交），为什么点积可以为负。

点积还具有symmetry。
假设u和v点积，对称性即：无论是v在u上作投影再乘，还是u在v上作投影再乘，结果都是一样的。
这一点不太好理解，但又至关重要。我们下面来解释一下：

假设u比v的范数大。我们在u的方向上取w，使得w的范数等于v的范数：

作一条对称轴，显然w和v一定满足对称性。这非常直观！
既然如此，那么结果和u、v点积，不过是相差常数倍，即（u的范数除以v的范数）。

反过来，我们也可以先把v拉长至w，使得w和u的范数相同。最后结果再补上常数倍（v的范数除以u的范数）。
对称性得证。

Linear Transformations from Multiple Dimensions to One Dimension

首先我们来看线性变换的苛刻条件。以二维到一维为例。

我们都知道，线性性包含齐次性和叠加性。但这不直观，不利于我们接下来的讨论。
对线性变换直观的认识是：如果在二维空间中有一系列等距分布于同一直线上的点：

那么线性变换之后，这些点在数轴上仍是等距分布的：

这类似于我们知道的：直线经过线性变换以后仍是直线。

和前几节课的理解一样，线性变换可以由一个矩阵表示。
矩阵的列向量，表征基向量变换后的位置。

不同的是，我们现在介绍的是降维变换（2D→1D）：
原本二维空间的基向量是[1,0],[0,1]:

现在变成了数轴上的两个点，也就是两个数（动画更直观，推荐看视频）：

因此我们完全可以认为：向量[2,1]表征一个从二维到一维的线性变换。

现在我们来看[1,-2]与[4,3]点积的效果分析：

从数值上看，这就是点积！

现在，我们解释为什么点积可以用投影后的乘积来解释。

假设我们要求向量u1和v1的点积。

我们直接把u1向量方向上的单位向量u作为变换矩阵。
上一节已经说明，一个二维向量u实际上就代表了一个二维到一维数轴的映射：

如图，所有二维空间上的点都会落在数轴上，并且一个输入对应一个输出，确实是函数。
最重要的是，这种映射是线性的：等距点投影在数轴上仍是等距的。

因此，u向量的两个元素，就代表两条基向量落在该数轴上的两个位置（数）:

实际上，这条数轴就位于该向量所在的直线上（有点投影的意思了）。
现在我们想求，基向量在这条数轴上的投影。

由对称性，我们会发现，ux正好就是基向量[1,0]在该向量上的投影。uy同理！

捋一捋思路（u1和v作点积）：

以上：

这样，我们就成功解释了：为什么两个向量作点积，本质上就是求投影再相乘。