分治法求解逆序数

   在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

      求逆序数的方法很多。最容易想到的办法是分别对序列中每一个元素求其逆序数，再求所有元素的逆序数总和，易分析得出这样的方法其时间复杂度为O(n²)。

      这里介绍一种分治的方法求逆序数，其思路如下。

       我们知道在对序列进行二路归并排序的时候，要将序列拆分成若干子序列，先将子序列排序，再合并子序列构成最终排序后的序列。二路归并算法还有一个特点，在进行归并操作时候的两个子序列是有序序列，所以，我们可以利用这一点，在归并子序列的时候，其中的子序列内部的逆序数必然是0，这时候能产生逆序数的情况必然处于子序列之间，即：“位置靠后的子序列”中的元素小于“位置靠前的子序列”的元素。例如，有子序列x：2,4,5；子序列y:1,3,6，显然，子序列y中的元素1的逆序数为3,子序列y中的元素3的逆序数为2，其他元素的逆序数均为0。通过这样一种方法，我们可以在序列的二路归并排序的过程中将序列的逆序数计算出来。故其时间复杂度为O(nlogn)。

      其代码实现如下：

     h1.h

 #ifndef H1_H
 #define H1_H

 #include
 #include
 #include /* malloc()等 */
 #include /* INT_MAX等 */
 #include /* EOF(=^Z或F6),NULL */
 #include /* atoi() */
 #include /* eof() */
 #include /* floor(),ceil(),abs() */
 #include /* exit() */

 #define MAXSIZE 100
 #define TRUE 1
 #define FALSE 0
 #define OK 1
 #define ERROR 0
 #define INFEASIBLE -1
 /* #define OVERFLOW -2 因为在math.h中已定义OVERFLOW的值为3,故去掉此行 */
 typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
 typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */


 #endif

InversionCount.c

 #include "h1.h"

 int mergeCount(int a[], int low, int center, int high){

     int count;
     int i, j, k;

     if(low >= high){
         return 0;
     }

     int *temp = (int *)malloc(sizeof(int)*MAXSIZE);
     if(!temp){
         printf("Error!Memorry allocation wrong!");
     }

     count = 0;
     for(i=low,j=(center+1),k=0; i<=center&&j<=high; ){
         if(a[i]>a[j]){
             count += (center-i+1);
             temp[k++] = a[j++];
         }
         else{
             temp[k++] = a[i++];
         }
     }
     while(i <= center){
         temp[k++] = a[i++];
     }
     while(j <= high){
         temp[k++] = a[j++];
     }

     for(i=low; i<=high; i++){
         a[i] = temp[i-low];
     }

     free(temp);

     return count;
 }

 int inversionCount(int a[], int low, int high){

     int center;

     if(low < high){
         center = (low+high)/2;
         int rl, rr, r;
         rl = inversionCount(a, low, center);
         rr = inversionCount(a, center+1, high);
         r = mergeCount(a, low, center, high);
         return (rl+rr+r);
     }
     else{
         return 0;
     }
 }

 int main(){

     int a[] = { 12, 3, 7, 10, 14, 18, 19, 2, 11, 16, 17, 23, 25};

     int i, result=0;

     result = inversionCount(a, 1, 12);

     printf("The numbers sorted:\n");
     for(i=1; i<=12; i++){
         printf("%d  ", a[i]);
     }
     printf("\nThe inversion count is: %d\n", result);

     return 0;
 }

注上述测试的序列为：

 {3, 7, 10, 14, 18, 19, 2, 11, 16, 17, 23, 25}排在第一位的12表示元素个数，其最终逆序数为13.