分治法求两个大整数的乘积

分治法求两个大整数的乘积

 

分治法求两个大整数的乘积 ，把两个n位的大整数u.v分割成长度为n/3的三段，可以用五次n/3位整数的乘法求得uv的值。按此思想设计一个两个大整数乘积的分治算法

 

把U分成U1、U2、U3三段，即U=U1*2^2n/3+U2*2^n/3+U3

把V分成V1、V2、V3三段，即V=V1*2^2n/3+V2*2^n/3+V3

则：

UV=U1V1*2^4n/3+(U2V1+U1V2)*2ⁿ+(U1V3+U2V2+U3V1)*2^2n/3+(U3V2+U2V3)*2^n/3+U3V3

  由上边式子知：U1V1和U3V3是避免不了的要进行乘法运算。

  另外在其余三个式子中要通过拆分消除缺少的分量。

  例如在U1V3+U2V2+U3V1中要在所有分量中消除U1V1 U1V2 U2V1 U2V3 U3V2 U3V3。

  则可以构造(U1+U2+U3)*(V1+V2+V3)和(U1-U2+U3)*(V1-V2+V3)两个式子通过正负抵消在所有分量中消除多余分量。

  在U2V1+U1V2和U3V2+U2V3中还要构造弥补抵消U2V2的式子，通过演算给分量配系数可得构造式子为(U1-2U2+4U3)*(V1-2V2+4V3)。

综上：可令

M1=U1V1

M2=U3V3

M3=(U1+U2+U3)*(V1+V2+V3)

M4=(U1-U2+U3)*(V1-V2+V3)

M5=(U1-2U2+4U3)*(V1-2V2+4V3)

  则有： U1V1=M1

         U2V1+U1V2=(3M1-12M2+2M3-6M4+M5)/6

         U1V3+U2V2+U3V1=(M3+M4)/2-M1-M2

         U3V2+U2V3=(-3M1+12M2+M3+3M4-M5)/6

         U3V3=M2

M1,M2,M3,M4,M5即为五次n/3位整数的乘法。