DeepLearning:三、神经网络
目录
- 生物神经元
- 神经网络概述
- 神经网路模型
本文主要的内容来源于UFLDL Tutorial [1] ，这个教程中的内容很详细，我将这个教程摘抄下来，并补充一些东西以及自己的理解。这篇教程还是有点难度的，建议先把逻辑回归的公式推导一遍再来看神经网络。
生物神经元 [2]
神经系统的基本结构和功能单位是神经细胞，即神经元(neurons)。无脊椎动物和脊椎动物的神经元形态相似，都是由细胞体和从细胞延伸的突起所组成。神经元之间通过突触传递信息，其中化学突触的突出前膜释放的是神经递质（neurotransimitters），它进入突触间隙后，运动至突触后膜，与特异性受体结合引起突触后神经元的兴奋或抑制。因此，神经递质起着神经调节的作用，它是神经元合成的化学物质，起着传导信息的作用。而神经网络的结构与生物神经的结构十分的相似。
神经网络概述
以监督学习为例，假设我们有训练样本集 (x(i),y(i)) ，那么神经网络算法能够提供一种复杂且非线性的假设模型 hW,b(x) ，它具有参数 W,b ，可以以此参数来拟合我们的数据。
为了描述神经网络，我们先从最简单的神经网络讲起，这个神经网络仅由一个“神经元”构成，以下即是这个“神经元”的图示（有没有感觉与上面）：
这个“神经元”是一个以 x1,x2,x3 及截距 +1 为输入值的运算单元，其输出为 hW,b(x)=f(WTx)=f(∑3i=1Wixi+b) ，其中函数 f:R↦R 被称为“激活函数”。在本教程中，我们选用sigmoid函数作为激活函数 f(⋅)
可以看出，这个单一“神经元”的输入－输出映射关系其实就是一个逻辑回归（logistic regression）。
这个教程中采用sigmoid函数，但是也有其他激活函数可以选择，这里列出部分：
双曲正切函数(tanh), tanh(z) 函数是sigmoid函数的一种变体，它的取值范围为 [−1,1] ，而不是sigmoid函数的 [0,1] 。：
ReLu，这个应用的比较多，效果比较好。DeepLearning中大部分的案例都是使用这个激活函数的。（下图的蓝色部分）
max(0,x)Softplus，Softplus函数是Logistic-Sigmoid函数原函数。可以看作是强制非负校正函数 max(0,x) 平滑版本。(下图中绿色部分线条）
Softplus(x)=log(1+ex)
注意，与其它地方（包括OpenClassroom公开课以及斯坦福大学CS229课程）不同的是，这里我们不再令 \textstyle x_0=1 。取而代之，我们用单独的参数 \textstyle b 来表示截距。
神经网络模型
所谓神经网络就是将许多个单一“神经元”联结在一起，这样，一个“神经元”的输出就可以是另一个“神经元”的输入。例如，下图就是一个简单的神经网络：
我们使用圆圈来表示神经网络的输入，标上“ +1 ”的圆圈被称为偏置节点，也就是截距项。神经网络最左边的一层叫做输入层，最右的一层叫做输出层（本例中，输出层只有一个节点）。中间所有节点组成的一层叫做隐藏层，因为我们不能在训练样本集中观测到它们的值。同时可以看到，以上神经网络的例子中有3个输入单元（偏置单元不计在内），3个隐藏单元及一个输出单元。
我们用 nl 来表示网络的层数，本例中 nl=3 ，我们将第 l 层记为 Ll ，于是 L1 是输入层，输出层是 Lnl 。本例神经网络有参数 (W,b)=(W(1),b(1),W(2),b(2)) ，其中 W(l)ij （下面的式子中用到）是第 l 层第 j 单元与第 l+1 层第 i 单元之间的联接参数（其实就是连接线上的权重，注意标号顺序）， b(l)i 是第 l+1 层第 i 单元的偏置项。因此在本例中， W(1)∈R3×3 ， W(2)∈R1×3 。注意，没有其他单元连向偏置单元(即偏置单元没有输入)，因为它们总是输出 +1 。同时，我们用 sl 表示第 l 层的节点数（偏置单元不计在内）。
我们用 a(l)i 表示第 l 层第 i 单元的激活值（输出值）。当 l=1 时， a(1)i=xi ，也就是第 i 个输入值（输入值的第 i 个特征）。对于给定参数集合 W,b ，我们的神经网络就可以按照函数 hW,b(x) 来计算输出结果。本例神经网络的计算步骤如下：
我们用 z(l)i 表示第 l 层第 i 单元输入加权和（包括偏置单元），比如，
这样我们就可以得到一种更简洁的表示法。这里我们将激活函数 f(⋅) 扩展为用向量（分量的形式）来表示，即 f([z1,z2,z3])=[f(z1),f(z2),f(z3)] ，那么，上面的等式可以更简洁地表示为：
我们将上面的计算步骤叫作前向传播。回想一下，之前我们用 a(1)=x 表示输入层的激活值，那么给定第 l 层的激活值 a(l) 后，第 l+1 层的激活值 a(l+1) 就可以按照下面步骤计算得到：
将参数矩阵化，使用矩阵－向量运算方式，我们就可以利用线性代数的优势对神经网络进行快速求解。
目前为止，我们讨论了一种神经网络，我们也可以构建另一种结构的神经网络（这里结构指的是神经元之间的联接模式），也就是包含多个隐藏层的神经网络。最常见的一个例子是 nl 层的神经网络，第 1 层是输入层，第 nl 层是输出层，中间的每个层 l 与层 l+1 紧密相联。这种模式下，要计算神经网络的输出结果，我们可以按照之前描述的等式，按部就班，进行前向传播，逐一计算第 L2 层的所有激活值，然后是第 L3 层的激活值，以此类推，直到第 Lnl 层。这是一个前馈神经网络的例子，因为这种联接图没有闭环或回路。
神经网络也可以有多个输出单元。比如，下面的神经网络有两层隐藏层： L2 及 L3 ，输出层 L4 有两个输出单元。
要求解这样的神经网络，需要样本集 (x(i),y(i)) ，其中 y(i)∈R2 。如果你想预测的输出是多个的，那这种神经网络很适用。（比如，在医疗诊断应用中，患者的体征指标就可以作为向量的输入值，而不同的输出值 yi 可以表示不同的疾病存在与否。）
参考资料
- http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Neural_Networks
- http://www.cnblogs.com/freyr/p/4516941.html
- 深度学习-LeCun、Bengio和Hinton的联合综述