神经网络基础：DNN、CNN、RNN、RvNN、梯度下降、反向传播

在介绍神经网络之前，首先介绍一下神经元模型。
神经元模型可以描述为这样的一张图：

对于一个模型而言，我们首先要把握住四个部分：输入、输出、参数以及对应的运算关系。（这一点很重要）
在上图所示的神经元模型中：
输入为$X$，输出为$Y$，参数为权重$W$和偏置$b$。
其运算关系为：
$Z=x_1{w}_1+x_2{w}_2+...+x_n{w}_n+b$
$Y=\sigma (Z)=\sigma (W^{T}X+b)$
其中，$\sigma$被称为激活函数，一般为连续的非线性函数，以增强网络的表示能力。
常见的激活函数有Sigmoid函数、Relu函数、Tanh函数等等，在这里不一一赘述，有兴趣的朋友们可以自行百度。
人工神经网络就是由神经元模型组成的，具有并行分布式结构的神经网络模型。

【一】DNN

DNN，前馈神经网络，网络中神经元分属于不同的层，整个网络中无反馈，信号从输入层向输出层单向传播，可用一个有向无环图表示 。

从图中可以看出，网络的输入与神经元模型相同，是一个$N$维向量$X$，网络的输出是一个$M$维向量$Y$。因此，模型中的运算关系可以看作 $f:R^n\to R^m$。
此外，模型中的参数包括每层所对应的权重$W^i$和偏置$b^i$。
这样，整个模型可以描述为：
$$Y=f(X,\theta )\theta =\{W^1,b^1,W^2,b^2,...,W^L,b^L\}$$
$$y=f(x)=\sigma (W^L...\sigma (W^2\sigma (W^{1}x+b^1)+b^2)...+b^L)$$
其中，对于每一层而言：
$$Z^L=W^L{a}^{L-1}+b^L,a^L=\sigma (Z^L)$$
即：
$$X=a^0\to Z^1\to a^1\to Z^2\to ...\to a^{L-1}\to Z^L\to a^L=Y$$
在上述模型中，需要经过计算得到的，就是模型中的参数值（$W$，$b$)，对于有监督训练来讲（在这里，为了简化问题，我们仅考虑有监督训练问题），如何求得权重$W$和偏置$b$呢？

【二】梯度下降法

在有监督训练中，我们有给定的实例$(x^i,{y^i}^{\prime })$，那么很自然地，我们会想到列方程来求解参数，但是当参数个数很多时，给定的实例个数可能会小于参数个数，这样，方程法将无法求解参数。
所以，我们通过另一种方式来进行参数求解——迭代调参：通过调整参数，让模型输出递归性地逼近标准输出。

在神经网络中，我们往往用迭代调参的方法进行参数求解。
很明显，在调参的过程中会有三个最基本的问题：
1.参数的初始值是什么？
2.怎么调参数？
3.要把参数调到什么程度才算结束？

对于第一个问题，方法很简答：随便设置参数初值。
因为参数值在迭代过程中是可调的，所以初始值并不重要（实际上还是会对模型效果有些影响的，在后面的多极值点函数问题中会提到），因此，可以随意设置。

对于后两个问题，一般来说，迭代调参方式分为两个步骤：
1.定义目标函数（损失函数）：将问题转化为极值问题。
2.优化目标函数：用调参的方式求目标函数的极值，以此来确定参数。
这样，我们既解决了如何调整参数的问题，也确定了调参什么时间结束。

为了反应模型输出对真实结果的拟合程度，很自然地会想到利用模型输出结果$y^i$与真实结果${y^i}^{\prime }$之间的误差定义目标函数。
损失函数，也就是我们所说的目标函数，常记作 $C(\theta )$或 $L(\theta )$，我们的问题也就定义成了：求解 $minC(\theta )$，使得模型输出与真实结果之间的误差最小。
损失函数有很多，交叉熵函数是较为常用的一种，对损失函数感兴趣的朋友可以自行百度了解~

现在，目标函数定义好了，索性将其表示为 $L(\theta )$，我们的问题和目标都已经很清晰了：
已知 $L(\theta )$，求 $minL(\theta )$
我们将其描述为“优化目标函数”过程，也就是上面所说的步骤二：利用迭代调参的方式逼近我们的目标。
这种迭代调参的方法就是大名鼎鼎的梯度下降法。

梯度下降法背后的数学原理是泰勒公式：
假如函数$h(x)$在$x=x_0$附近无限可微，那么利用泰勒展开可以写为：
$$h(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{h^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$$
$$=h(x_0)+h^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{h^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+...$$

那么，当$x$与$x_0$无限接近时，上式可以写为：
$$h(x)\approx h(x_0)+h^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$
不失一般性：
$$h(x_1)=h(x_0)+h^{\prime }(x_0)(x_1-x_0)$$
由于我们的目标是求解函数$h(x)$的极小值（在这里我们将$h(x)$看作目标函数），那么每次选取的$h(x_i)$的值要比上一次的$h(x_{i-1})$更小，即：$h(x_i)<h(x_{i-1})$
带入泰勒展开式：
$$h(x_i)=h(x_{i-1})+h^{\prime }(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})$$
可以得出：
$$h^{\prime }(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})<0$$

值得注意的是，$x_i$和$x_{i-1}$的大小犹未可知。或者说，无所谓$x_i$和$x_{i-1}$的大小关系如何，梯度下降法都可以很好地达到我们预期的目标，对此有疑问的朋友们可以自己画图验证一下~

到这里，我们就得到了迭代调参的方法——梯度下降法：
$$X_{i+1}\leftarrow X_i-\eta h^{\prime }(X_i)$$
其中，$\eta$被称为学习率，$h^{\prime }(X_i)$被称为梯度，整个迭代过程到梯度为0（即$h^{\prime }(X_i)$=0)时停止。

可以看出，梯度下降法面临着这样一个很明显的问题：
加入函数是一个具有多极值点的函数，那么如何确定梯度下降之后的结果是最优解呢？

（图片来自百度）
上图中，很明显，函数在$x_1$处达到最小值。然而，如果梯度下降法找到了$x_4$或者$x_6$之后，是不会再继续寻找极值点的，因为此刻的梯度已经为零，迭代结束。

对于这个问题，解决方法比较佛系：设置随机的参数初值。
这个方法不能保证一定能解决这个问题，但是至少做出了一定的，成本可接受的努力。

此外，学习率$\eta$的设置也是需要考虑的。

很明显，学习率过大会导致无法到达最优解，学习率过小将会导致迭代次数过多。
对于如何设置学习率，本人在另外一篇博客中有简单提及：机器学习如何进行调参

在这里要注意一点，此“调参”非彼“调参”，本文中所说的调参是调节模型训练的参数$W$、$b$，而在引用博客中所说的调参是调节超参数。超参数在模型训练之前预先设置，并在模型训练过程中保持不变。

最后，梯度下降法根据调节参数利用的样本个数分为：梯度下降法（一次利用所有样本）、随机梯度下降法（一次利用随机选取的一个样本）、mini-batch梯度下降法（一次利用一个batch的样本），对其感兴趣的朋友可以自行百度了解，在这里就不再赘述。

【三】反向传播算法

在梯度下降法提出过后，人们发现，调节参数仍然是一项巨大的工程，这直接导致了神经网络无法做得过深，直到反向传播（BP）算法诞生。

BP算法的核心思想很简单：将输出误差以某种形式反传给各层所有的单元，各层按本层误差修正各单元连接权值。
这样，神经网络真正地成为了深度学习，迎来了自己的春天。

你一定还记得，在DNN中有这样一组式子：
对于每一层而言：
$$Z^L=W^L{a}^{L-1}+b^L(1)$$
$$a^L=\sigma (Z^L)(2)$$
以及：
$$X=a^0\to Z^1\to a^1\to Z^2\to ...\to a^{L-1}\to Z^L\to a^L=Y$$

那么，按照对网络递推关系的理解，我们可以很容易在此基础上得到下面的一组式子：
$$\Delta W^1\to \Delta Z^1\to \Delta a^1\to \Delta Z^2\to ...\to \Delta Z^L\to \Delta a^L\to \Delta Y\to \Delta C(\theta )$$
$$\Delta W^2\to \Delta Z^2\to ...\to \Delta Z^L\to \Delta a^L\to \Delta Y\to \Delta C(\theta )$$
$$......$$
$$\Delta W^L\to \Delta Z^L\to \Delta a^L\to \Delta Y\to \Delta C(\theta )$$
很容易理解，这意味着，某层的$W$改变影响了之后所有层的结果。

利用梯度下降法，可以得到：
$$[W^I{]}^1\leftarrow [W^I{]}^0-\eta \frac{\partial C(\theta )}{\partial W^I}$$
在这个式子中，我们关心的只有梯度$\frac{\partial C(\theta )}{\partial W^I}$，根据导数的链式法则，有：
$$\frac{\partial C(\theta )}{\partial W^I}=\frac{\partial C(\theta )}{\partial Z^I}\frac{\partial Z^I}{\partial W^I}$$
其中，对于后一项$\frac{\partial Z^I}{\partial W^I}$我们可以利用式(1)简单求得，结果为$a^{I-1}$。
那么问题的关键就转化为了求解前一项：$\frac{\partial C(\theta )}{\partial Z^I}$，不妨设该误差项为${\delta }^I$。
由于误差是从最后一层反向传播，所以先对最后一层计算${\delta }^L$，这也很简单：
$${\delta }^L=\frac{\partial C(\theta )}{\partial Z^L}=\frac{\partial C(\theta )}{\partial Y}\frac{\partial Y}{\partial Z^L}$$
后一项可以由式(2)求得，结果为：${\sigma }^{\prime }(Z^L)$。
（对最后一层而言，$Y$与$a^L$相同）
而在前一项$\frac{\partial C(\theta )}{\partial Y}$中，很明显，误差函数$C(\theta )$是输出$Y$的函数，因此也可通过简单的求导得到，在这里记为$\nabla C^r(y^r)$。
于是，我们可以得到
$${\delta }^L={\sigma }^{\prime }(Z^L)\nabla C^r(y^r)$$
现在，我们有了最后一层的${\delta }^L$，最关键的部分就是求${\delta }^I$和${\delta }^{I+1}$之间的关系了，有了这个关系，误差就可以从最后一层反向传播至所有层。
定义第I层的第i个神经元的误差为${\delta }_i^I$，下图为神经网络状态：

根据网络的递推关系，我们可以得到：
$${\delta }_i^I=\frac{\partial C^r}{\partial z_i^I}$$
由于$\Delta C^r$和$\Delta z_i^I$之间的关系是这样的：

所以，根据导数的链式法则，有：
$${\delta }_i^I=\frac{\partial C^r}{\partial z_i^I}=\frac{\partial a_i^I}{\partial z_i^I}\sum _k\frac{\partial z_k^{I+1}}{\partial a_i^I}\frac{\partial C^r}{\partial z_k^{I+1}}$$
在这个式子中，我们可以发现，所有的偏导均可求，求解结果如下：
$${\delta }_i^I={\sigma }^{\prime }(z_i^I)\sum _k{w}_{ki}^{I+1}{\delta }_k^{I+1}$$
把上式中的$w$项写成矩阵形式：
$${\delta }^I={\sigma }^{\prime }(z^I)\cdot (W^{I+1}{)}^T{\delta }^{I+1}$$
其中，‘·’表示矩阵的点乘，${\sigma }^{\prime }(z^I)=[{\sigma }^{\prime }(z_1^I),{\sigma }^{\prime }(z_2^I),...,{\sigma }^{\prime }(z_i^I),...{]}^T$。

至此，反向传播算法的全部要素都已经求得，在推导BP算法的过程中，导数的链式法则是基础，对链式法则不熟悉的朋友可以自行百度了解~
此外，最重要的一点是把握住每层之间的递推关系（这一点真的很重要），如果还有哪个地方不理解，闲暇之余自己手推一遍是比较好的一种加深理解的方法~

在反向传播的过程中，我们发现，在每一层都要乘激活函数的导数，即${\sigma }^{\prime }(z^I)$。当激活函数为sigmoid函数或者tanh函数时，由于激活函数的导数小于1，会导致误差经过每一层网络时都会衰减。当网络层数很深时误差接近于0，这就是梯度消失问题。
这个问题可以将激活函数改为Relu函数加以解决。

【四】CNN

CNN，卷积神经网络，在图像相关问题中得到广泛使用。
为什么呢？

在上文中所提到的DNN中，我们可以做这样一个假设：
如果第$i$层有$n^i$ 个神经元，第$i-1$层有$n^{i-1}$ 个神经元，那么，连接边有$n^i{n}^{i-1}$个，也就是说，权重矩阵有$n^i{n}^{i-1}$个参数。
如果有一张图像是$m\ast n$的，当$m$、$n$很大时，权重矩阵的参数非常多，训练的效率会非常低。
假设$m=n=10$，第一个隐藏层有1024个神经元，那么权重矩阵的参数就有102400个。
CNN就是为了解决参数过多的问题而提出的。

卷积神经网络（Convolutional Neural Networks，CNN）是一种前馈神经网络，是受生物学上感受野（Receptive Field）的机制启发而提出的。所谓感受野，就是神经元的特定区域，只有在这个区域内的刺激才可以激活该神经元。
（对于感受野的概念，这里介绍得比较笼统，有兴趣的朋友们可以自行百度~）

在网络结构上，CNN是由卷积层、池化层（也叫子采样、降采样层）和全连接层交叉堆叠而成。

在卷积层，利用卷积核（filter）对图片进行卷积运算，得到的结果称为特征图（feature map）。
假设我们的图片是这样的：

卷积核是这样的：

那么我们得到的结果（特征图），是这样的：

至于具体是怎么操作的，涉及到填充（padding）、步长（stride）等等概念的组合以及卷积运算的基本概念，在这里不一一赘述，有兴趣的朋友可以自行百度或者参看本人的另外一篇博客：机器学习中的一些基本概念。

看到这里，大家会发现一件事：我们把一张$6\ast 6$的图片处理成了$4\ast 4$的图片，这从一方面减少了参数的数量。
现在，我们再来做一笔计算：
还是一个10*10的图像，第一层的神经元个数还是1024个。
如果这1024个神经元是用16个$3\ast 3$的filter卷积得到（$1024=16\ast ((10-3)/1+1{)}^2$）（假设步长为1，无填充），那么参数的个数是$16\ast 3\ast 3=144$个（16个filter，每个filter都是$3\ast 3$）。
很明显，与DNN相比，CNN在参数个数方面的优越性很强。

此外，卷积连接有这样的两个特点：局部连接、权重共享。
即，对于一张feature map来说，所用的filter是同一个，而且一个filter每次只对原图像中的一部分进行卷积操作，重复多次，得到结果。

在池化层，池化操作（pooling）的本质是采样，用于减少模型参数并保留有效信息避免过拟合，提高训练速度。
以刚刚得到的feature map为例，进行$2\ast 2$的max pooling：

可以得到如下结果：

可以看出，在每个$2\ast 2$的方格中，选取方格内最大的值，组成新的结果：

上面的描述中，pooling即为池化。

在网络训练中，卷积层和池化层作为一个整体进行训练。而且，卷积层和池化层可以进行多层堆叠。
此外，池化的方法有很多，在这里不一一介绍，有兴趣的朋友可以参看：机器学习中的一些基本概念

在全连接层，首先将最后的池化层的单元进行“平化”，组成全连接输入网：

此后，就像传统DNN结构相同啦~

CNN具有三个结构上的特性：
1.局部连接
2.权重共享
3.时间或空间上的降采样
这些特性使得卷积神经网络具有一定程度上的平移、缩放和扭曲不变性。

【五】RNN

在神经网络中，有两个RNN：Recurrent Neural Network 循环神经网络、Recursive Neural Network 递归神经网络，本节所提到的RNN均指循环神经网络。

在了解了DNN和CNN过后，我们会意识到一个问题，CNN和DNN只能处理输入、输出定长的问题，而处理变长问题效率不高，而在自然语言处理（NLP）等领域，输入、输出（语句）的长度往往不固定。
（我们将在NLP章节介绍另一种RNN：递归神经网络）
除此之外，对于时序相关问题，DNN和CNN也无法解决。因此，提出循环神经网络的概念。

循环神经网络的核心思想十分简单：将问题在时序上分解为一系列相同的“单元”，单元的神经网络可以在时序上展开，并且能将上一时刻的结果传递给下一时刻，整个网络按时间轴展开，即可处理变长和时序问题。

RNN的单元结构如下：

对于一个模型而言，最重要的是什么？
四个部分：输入、输出、参数、对应运算关系。
在RNN单元中：
输入：X，以及来自前一时刻隐藏层的结果
输出：Y，以及传递给下一时刻隐藏层的结果
参数：$W_i$、$W_o$、$W_h$、$b$
对应运算关系（信息传播）：
$$h(t)=\sigma (W_{i}X+W_{h}h(t-1)+b)$$
$$Y=softmax(W_{o}h(t))$$
其中，$softmax$函数是一种特殊的函数，使得输出为一个对应的概率值，对$softmax$函数感兴趣的朋友们可以自行百度进行了解~

有了这个RNN基本单元，整个RNN网络也就呼之欲出了：

这张图中告诉了我们极为关键的一点：每个RNN基本单元的对应参数值都是相同的（这一点十分重要）。

此外，对应不同的问题，RNN的输入输出结构可以不同：

同样，利用梯度下降法进行参数学习。
但是反向传播过程与DNN有所不同：
传统BP算法无法保证在参数调整的过程中对应参数相同，而RNN网络各个单元中的对应参数要求相同，这就需要对传统BP算法进行改进，这种改进后的BP算法叫做基于时间的反向传播算法（BPTT）：

为了保证RNN单元对应参数相同，BPTT提出了两点要求：
1.要求所有RNN单元结构的对应参数置相同初值。
2.在参数调整的过程中，要求同时调整参数。

即：

这两点要求都很好理解，而且都很好实现，只需使得RNN单元结构中的对应参数共享同一块内存即可。

在实际应用的过程中，人们发现RNN有一个问题，这个问题也很好理解，那就是：
距离当前节点越远的节点对当前节点处理影响越小。
这也就导致了，RNN虽然可以处理变长或者时序问题，但是无法建模长时间的依赖。

为了解决这个问题，提出了RNN的变种：LSTM和GRU，GRU是对LSTM的简化。
LSTM通过引入“门”结构，实现保留信息和选择信息功能。
在此基础上，进一步提出了双向LSTM（Bi-LSTM）和双向深度LSTM（Deep Bi-LSTM），可以建模双向依赖。
这在NLP领域是十分重要的，因为这意味着可以对上下文信息同时加以利用，而不仅仅只能利用上文信息。

在这里，不对LSTM和GRU进行详细地阐述，只需要知道LSTM和GRU可以建模长时间的依赖就可以啦，有兴趣的朋友们可以自行百度~

【六】RvNN

RNN适合处理能够在时序上展开的输入序列，然而对于结构展开的非线性关系表示能力差。

在NLP领域中，语句内部的句法关系通常是非线性的。
例如，NLP中常常用到的句法分析树（也称为短语结构树）：

因此，引入递归神经网络RvNN。

RvNN的基本思想很简单：将处理问题在结构上分解为一系列相同的“单元”，单元的神经网络可以在结构上展开，且能沿展开方向传递信息。
与RNN的思想类似，只不过将“时序”转换成了“结构”。

RvNN的单元结构和信息传递方式是这样的：

其中底层是输入、顶层是输出。

由此构成的RvNN网络是这样的：

就句法分析树而言，RvNN的输出有两个：生成此种句法分析树的分数score，以及该种句法分析树的句嵌入（embedding）。

举个例子：“新桌子和椅子”

很明显，不同的句法结构所对应的句嵌入不同，分数也不同。

RvNN的学习过程与一般的神经网络差别不大，在这里不再赘述，有兴趣的朋友们可以自行查阅相关资料~

RvNN的参数训练过程与RNN类似，需要对每个单元结构的参数 $W,U$ 同时进行调整。值得注意的是，RvNN的误差由打分部分误差和句嵌入（信息部分）误差共同构成。
其他方面与RNN类似，这里也不再赘述。

本文主要介绍了几种基本的神经网络：DNN、CNN、RNN、RvNN，以及网络训练过程中的基本方法：梯度下降法和反向传播算法（BP、BPTT）。

由于细节内容太过繁琐，所以有很多扩展内容无法全部进行介绍，比如LSTM模型、GRU模型、以及在RNN基础上大名鼎鼎的encoder-decoder架构。
对于encoder-decoder架构，将会在NLP部分进行介绍。
对这些内容感兴趣的朋友可以自行百度进行了解，同时欢迎私信进行沟通，共同进步~

如果文中有某些概念理解有误，欢迎各位大神批评指正。

谢谢！