贪心算法--最小生成树Prim算法

引言：前两天在复习贪心算法时，看到单源最短路径的Dijkstra算法和最小生成树的Prim算法，由于自己不认真，竟然将这两个算法思想看成一样的，后来在总结笔记时才发现他们两的区别还是很大的，下面是自己学习Prim算法时做的笔记，特意Mark以下；以供以后复习参考：
一：最小生成树：
设G=(V,E)是无向联通带权图，即一个网络。E中的每一条边（v,w）的权为c[v][w];如果G的一个子图G1是一颗包含G中所有顶点的树，则称G1为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称之为最小生成树。
1：最小生成树性质：

使用贪心算法设计策略可以设计出构造最小生成树的有效算法。本节所介绍的构造最小生成树的Prim算法和Kruskal算法都可以看做是应用贪心算法解决该问的策略。

MST性质：设G=（V,E）是连通带权图，U（u，v）属于E,且u属于U，v属于V-U;且在所有这样的边中，（u，v）的权c[u][v]最小，那么一定存在一课最小生成树，它以（u，v）为其中的一条边。
二：问题描述
题目：如下图所示，给图一个无向联通图即网络G=（V,E）的具体情况；让你求出该图的最小生成树：

Prim算法.png

三：求解方法：
1：补充：Prim算法：
设G=(V,E)是连通权图，V={1,2,3….n};
构造G的最小生成树的Prim算法的基本思想是：首先设置S={1},然后，只要S是V的真子集，就如下的贪心选择：选取满足条件i属于S，j属于V-S。且c[i][j]最小的边，并将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S=V时为止。在这个过程中选取的所有边恰好构成G的一棵最小生成树：
按照上面的Prim算法的具体过程

1:首先我们应该定义一个集合S用来存源点这里我们将起点定位1；所以开始时S={1};定义另一个集合B用来存集合V中除去集合S中的点之外的所有点；

2:定义一个集合dis用来存集合S中的点能够到达集合B中的点的边长；初始时dis具体情况如下：

1.png

如上表所示，集合S到集合B之间距离最最近的点是顶点3；所以我们将顶点3放入集合S此时调整集合dis值如下表：

2.png

从表中我们可以看出，此时集合S中的点到集合B中的点距离最近的是边：dis(3,6),所以我们将顶点6放到集合S中，此时集合S中包含的点为S={1,3,6};再次调整集合dis，得下表：

3.png

从表中我们可以看出，此时集合S中的点到集合B中的点距离最近的是边是：dis(6,4)，所以我们将顶点4放到集合S中；此时集合S中包含的点为S={1,3,6,4};再次调整集合dis，得下标：

4.png

从表中我们可以看出，此时集合S中的点到集合V-S中的点距离最近的边是：dis(3,2)，所以我们将顶点2放到集合S中；此时集合S中包含的点为S={1,3,6,4,2};再次调整集合dis，得下标：
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5.png

从表中我们可以看出，此时集合S中的点到集合V-S中的点距离最近的边是：dis(2,5)，所以我们将顶点5放到集合S中；此时集合S中包含的点为S={1,3,6,4,2,5};已经包含了集合V中的所有元素，此时我们所得到的子图就是我们所要求解的最小生成树。如下图所示：

Prim算法求得最小生成树.png

具体代码待补充.......