最大匹配、最小顶点覆盖、最大独立集、最小路径覆盖

 

在讲述这两个算法之前，首先有几个概念需要明白：

二分图: 
二分图又称二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可以分割为两个互不相交的子集(A,B),并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A, j in B), 则称图G是二分图。 

匹配： 
给定一个二分图，在G的一个子图G’中，如果G’的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称G’的边集为G的一个匹配 

最大匹配： 
在所有的匹配中，边数最多的那个匹配就是二分图的最大匹配了 

顶点覆盖： 
在顶点集合中，选取一部分顶点，这些顶点能够把所有的边都覆盖了。这些点就是顶点覆盖集

最小顶点覆盖： 
在所有的顶点覆盖集中，顶点数最小的那个叫最小顶点集合。 

独立集： 
在所有的顶点中选取一些顶点，这些顶点两两之间没有连线，这些点就叫独立集 

最大独立集： 
在左右的独立集中，顶点数最多的那个集合 

路径覆盖： 
在图中找一些路径，这些路径覆盖图中所有的顶点，每个顶点都只与一条路径相关联。 

最小路径覆盖： 
在所有的路径覆盖中，路径个数最小的就是最小路径覆盖了。 
熟悉了这些概念之后，还有一个二分图最大匹配的König定理，这个定理的内容是：最大匹配 = 最小顶点覆盖。此处不证明其正确性。有了这个定理之后还可以得出一些二分图特有的公式： 

最大独立集 = 顶点个数 – 最小顶点覆盖（最大匹配） 
这个公式，我们可以利用最大匹配来找到最大的独立集。而最大独立集和最小路径覆盖有个千丝万缕的关系。 
对于二分图的最大匹配，常用的求解方法是hungarian算法和最大流算法。以poj上的题目为例说明： 
POJ2271: 题目大意是，一群男孩和女孩共N人，某些男孩和女孩之间会发生恋爱关系（满足一定的关系），现在希望找到最多的孩子，他们之间不会发生恋爱关系。 
分析：找到最多的孩子，没有恋爱关系，这实质上是找最大独立集。假设男孩在左有a个,女孩在右有b个，那么如果某男孩和某女孩之间有关系，就连线。最大独立集就是找到最多顶点，顶点之间没有联系，正好就是所求，而最大独立集就是 N-最大匹配，所以问题得到解决。试想，如果二分图中没有连线，那么所有的孩子都可选，最大独立集也是N,他们是等价的。如果存在一条连线，那么去掉一个孩子就是所找的孩子，最大独立集此时是N-1.依次类推。在试想，最大匹配其实就找到了几对恋爱对象，假设是这样的 
a b 
B0 G0 
B1 G1 
… … 
Bi Gi 
… … 
我们只需要把他们的另一半去掉，就是我们找的孩子。不过会有这样的疑问，如果我取出了B1的另一半G1,B1会不会和其余的孩子恋爱呢，比如说B1和b会恋爱，那么好吧，去掉G1的另一半B1,这样就不会有问题了吧。还有担心？G1会不会和其余的孩子恋爱呢，比如说G1和a会恋爱，不过这样的情况是不会出现的。假如G1和a好，B1和b好，那么最大匹配中出现的是两条边G1->a B1->b，而不是现在的B1和G1.所以，既然最大匹配中选择了B1和G1,去掉他们中间的一个肯定是可行的。所以答案就是N-最大匹配了。 

POJ3692:题目大意是，一群男孩B个（他们互相认识），一群女孩G个（他们互相认识），某些男孩和某些女孩相识，现在找出最多的孩子，他们互相认识 
分析：这个题目和上面的有些相似。对于利用二分图最大匹配算法解题最重要不是匹配算法本身，而是如何问题转化为二分图模型。一旦模型建立，就很容易了。题目要找的是一群孩子，他们之间都互相认识，也就是说这是一个团（图的概念，任意两个顶点之间都有连线）。可是如果直接去找团，可能比较麻烦。因为这是二分图，自然要利用二分图的性质。在二分图的算法里面没有找团的相关算法，所以我们可以考虑反问题，找出最多的孩子，他们之间互不认识，这不是就是求最大独立集嘛。建立这样的二分图，左边是男孩，右边是女孩，如果男孩和女孩不认识就连上边，在这样的二分图中，找最大独立集，其实就是找出所有的相互认识的孩子了。接下来就很容易了。此题说明模型的转化和构图很重要。 

POJ3041:题目大意是，一个矩阵，某些位置有小行星，有一种炸弹，一次可以炸掉一行或者一列，现在问题是需要最少用多少这样的炸弹。 
分析：模型转化，非常巧妙的利用二分图来解决。利用二分图必须有左顶点和右顶点，我们把行作为左顶点，列作为右顶点，如果该行和该列的交点有小行星，就连线。求此二分图的最大匹配就是了。对这个问题展开思考，为什么可以这么转化。其实从最小顶点覆盖的角度来想比较好理解，左边的顶点和右边的顶点只有当有小行星的时候才有连线，那么只要找到最少的顶点把所有的边覆盖了，那么就是所求的解了。最小顶点覆盖等值于最大匹配 

POJ1466:题目大意是，一群人N，某人可能是多某些人有罗曼史，性别未知，但一定是异性。找出最多的同学，他们之间无罗曼史 
分析：因为性别未知，所以可以把所有的人当成左顶点，右边也是所有的人，建立二分图，可以想象，这样求出来的最大匹配是男女分开建立的二分图的最大匹配的二倍。而题目让找最大独立集，所以应该是N-最大匹配/2; 

POJ1325:题目大意是，有两台机器，有多个任务，每个任务都可在这两台机器上运行，不过不同的模式需要重启电脑，很浪费时间，现在要找出最好的调度方式，减少调度时间。 
分析：最少的顶点覆盖最多的边（任务），所以是最小顶点覆盖问题 

POJ2060:题目大意，有很多人预订出租车，如果出租车做完一个任务能够敢到下一个任务，就不需要在调度一辆出租车了，现在请问最少需要几辆出租车。 
分析：最小路径问题，对任务构图，将一个任务拆开成两个点，建立二分图，如果一个任务能够完成之后赶到下个任务就连线，然后就是二分图问题了。最小路径等值于二分图的最大独立集 

POJ2226:和3041相似，不过这里不是销毁一行或者一列，一次只能销毁连着的一行或者一列。可以把所有的行连续的段拿出来作为左顶点，所有的列连续的段拿出来作为右顶点，如果左段与右段之间有相交，就连线。然后求最小顶点覆盖 
POJ1422:最小路径覆盖 
POJ2594:特殊的最小路径覆盖，每个顶点可以有多条路径经过，这时需要事先把任意两点之间是否能够到达求出，然后在求路径覆盖。 
POJ1548:最小路径覆盖 
POJ3216:最小路径覆盖

 

二分图最小顶点覆盖的证明 
首先，回顾一下二分图最小点覆盖的定义： 
二分图中，选取最少的点数，使这些点和所有的边都有关联（把所有的边的覆盖），叫做最小点覆盖。 
最少点数=最大匹配数 
结合昨天看的介绍，，今天按照我的理解给出自己的证明（原创，仅作参考，欢迎讨论） 
从最大匹配数到底能不能覆盖所有的边入手。 
因为已知了最大匹配，所有再也不能找到增广路了，有最大匹配定义知。 
现在所有的边就剩下两种情况了，一种是匹配，一种是不匹配。 
假设所有的匹配边有n条，那么左右边就都有n个匹配边的顶点了，标记所有左边匹配边的顶点，则有n个。 
问题就是证明n=最小点覆盖，即证明最大匹配数n到底能不能覆盖所有的边入手。 
考察右边的匹配边的顶点，明显，左边都可以找到其匹配点且为n，说明所有匹配边已经被这左边的n个点关联了。 
接下来证明未匹配边也能被这左边的n个匹配的点关联那么不就证明了“，使这些点和所有的边都有关联（把所有的边的覆盖）”吗。。 
对于剩下的未匹配边，每条边都有一个右边点（显然既然是未匹配边，这个点自然是未匹配点）和左边点（我将证明着些左边点都是匹配边的顶点，证明了这一点，也就证明了这左边的n个点也和剩下的未匹配边关联了） 
假设上面说的左边点不在这n个匹配边的左边点之中，那从剩下的某个未匹配边的右边点出发不就可以找到增广路了吗（想想增广路的定义就知道了，右未匹配，左未匹配的话那就可以找到增广路了），所以左边点也在匹配边之中，。所以就证明了剩下的未匹配边关联的范围也在这左边的n个匹配点的范围内力了。 
也就证明了这n个左边匹配边的点既也右边匹配边关联，也与右边未匹配边关联了，即与所有边关联了。 
那么按照最小覆盖的定义，接下来只要证明这个n是做小值就行了。 
假设可以比n小，那就相当于随便删一些匹配边，那么这些删除了边的右边点就没人匹配了，也就不满足与所以边关联了，所以矛盾，所有n就是最小值。 
故得证。 
主要从最小覆盖的定义的两个要点（1，能不能关联所有的边。2，最小）来证明最大匹配的所有左边点就满足这个要求，匹配边有n条那自然匹配边的左边点就有n个了。

转载自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5ceeb9ea0100l08n.html

 

性质： 
最大团 = 补图的最大独立集

最小边覆盖 = 二分图最大独立集 = |V| - 最小路径覆盖

最小路径覆盖 = |V| - 最大匹配数

最小顶点覆盖 = 最大匹配数

最小顶点覆盖 + 最大独立数 = |V|

最小割 = 最小点权覆盖集 = 点权和 - 最大点权独立集

 

 

不错的讲解二分图大讲堂http://dsqiu.iteye.com/blog/1689505