NOIP提高组 模拟赛 Day1

T1 单峰数计数

Description

一个n的全排列A[i]是单峰的，当且仅当存在某个x使得A[1]A[x+1]>...> A[n]。例如，对于9的全排列，125798643是一个单峰排列，123456789也是一个单峰排列，但356298741就不是。试求n的单峰全排列的个数。

Input

输入一个数n。

Output

输出n的全排列中单峰排列的个数。由于这个数可能很大，因此你只需要输出它mod 1234567的值。

Sample Input

3

Sample Output

4

Hint

##### 样例解释

共有以下4种方案：

123

132

231

321

##### 数据规模

对于20%的数据，n<=25。

对于100%的数据，n<=2*10^9。

 

对于100%的数据，显然时间复杂度在O(logn)以下。

所以~手动打表找规律。

当n=1时 只有1种情况：1

当n=2时 有2种情况：12 21

当n=3时 有4种情况：即样例解释

当n=4时 有8种情况：1234 1243 1342 1432 2341 2431 3421 4321

当n=5时 有16种情况：12345 12354 12453 12543 13452 13542 14532 15432 23451 24531 23541 25431 34521 35421 45321 54321

当n=6时 有32种情况，这里不方便举出了。

所以n=k时，有2^k-1种情况，快速幂。

实际上，我们可以假设1放中间，后面每个数都可以放在这串数的两边，并且满足单峰。

 1 #include
 2 #define int long long
 3 #define P 1234567
 4 using namespace std;
 5 
 6 int n;
 7 
 8 int qpow(int x,int y)
 9 {
10     int ans=1,b=x;
11     while(y!=0)
12     {
13         if(y&1) ans=ans*b%P;
14         b=b*b%P;
15         y>>=1;
16     }
17     return ans;
18 }
19 signed main(){
20     scanf("%lld",&n);
21     if(n==1)
22     {
23         printf("1");
24         return 0;
25     }
26     printf("%lld",qpow(2,n-1));
27     return 0;
28 }

T1 Code

 

T2 矩阵行走

Description

有一块n *n 的土地上，明明和亮亮站在(1,1)处。每块地上写有一个数字a(i, j)。现在他们决定玩一个游戏，每一秒钟，他们俩走向相邻且坐标变大的格子（从(x,y)到(x+1,y)或者从(x,y)到(x,y+1)），他们俩可以按照不同方式来走，最后经过2n-1步到达(n,n)处。明明和亮亮每一秒钟计算他们站的两个位置上数字的差的绝对值，他们希望这些差值的和最大，请问这个最大的和是多少？ Input 第一行一个正整数n。后面n行，每行n个整数，分别表示每块地上的数字。 Output 一个整数，表示最大的差值的和。 

Sample Input

4

1 2 3 4

1 5 3 2

8 1 3 4

3 2 1 5

Sample Output

13

Hint

【数据规模】对于20%的数据，n<=10。对于100%的数据，n <= 100, 每块地上的数字的绝对值不超过300。

 

典型动态规划。

定义f[i][j][k]表示走到第i步时，一个人站在横坐标为j的格子上，另一个人站在横坐标为i的格子上，当前答案（差值）的最大值。

那么第一个人的位置为（j,i-j+1），第二个人的位置是（k,i-k+1）。

f[i][j][k]=max(max(f[i-1][j][k-1],f[i-1][j-1][k]),max(f[i-1][j-1][k-1],f[i-1][j][k]))+abs(a[j][i-j+1],a[k][i-k+1])

时间复杂度O(n³)

 

 

T3 数字转换

Description

如果一个数x的约数和（不包括它本身，下同）比它本身小，那么x可以变成它的约数和；如果对于某个y>x且y的约数和为x，那么x也可以变成y。例如，4可以变为3，1可以变为7。限定所有的数字变换在不超过n的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且没有重复数字出现的最多变换步数。 Input 输入一个正整数n。 Output 输出最少需要花费的时间。 

Sample Input

7

Sample Output

3

Hint

【样例解释】一种方案为：4→3→1→7。

【数据规模】对于10%的数据，n<10。对于30%的数据，n<100。对于100%的数据，n<=50000。

 

可以用树形Dp做

首先，要找每个数的约数和。

其次，在一个数和他的约数和之间建一条边，边长为1。

显然，这就是典型的最长链问题了。

在每个点记录当前的第一长链f1和第二长链f2，最后f1+f2就是经过该点的最长链。

 1 #include
 2 #define MAXN 50009
 3 using namespace std;
 4 
 5 int f1[MAXN],f2[MAXN],sum[MAXN],n;
 6 int main(){
 7     scanf("%d",&n);
 8     for(int i=1;i)
 9         for(int t=(i<<1);t<=n;t+=i) sum[t]+=i;
10     for(int i=n;i>0;i--)
11     {
12         int t=sum[i];
13         if(t>=i) continue;
14         if(f1[i]+1>f1[t]) f2[t]=f1[t],f1[t]=f1[i]+1;
15         else if(f1[i]+1>f2[t]) f2[t]=f1[i]+1;
16     }
17     int ans=-1;
18     for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f1[i]+f2[i]);
19     printf("%d",ans);
20     return 0;
21 } 

T3 Code