统计学习方法（2）——感知机

感知机是二类分类的线性分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为实例的类别｛-1,1｝，是一种判别模型。感知机学习的目的在于求出将训练数据进行划分的超平面。

• 感知机模型

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  输入空间\(X\epsilon R^{n}\),输出空间\(\gamma =\left \{ -1,1 \right \}\)。
  \[ f(x)=sign(w\cdot x+b)\] \(x\)为输入向量，其中，\(w\)和\(b\)为感知机模型参数，\(w\cdot b\)表示内积，sign是符号函数。感知机的几何角度理解是：\[w\cdot x+b=0\]是特征空间\(R^{n}\)的一个超平面，\(w\)是该平面的法向量，\(b\)是截距。这个超平面将特征空间划分为正负两个部分，如下图。

• 感知机学习策略

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  感知机学习的目的是为了找到能够将正负实例点正确分开的超平面，也就是要确定参数\(w\)和\(b\)，感知机的学习策略便是__定义一个损失函数并将其最小化__。于是便要选择一个损失函数的依据，可以选择误分类的点的数量作为损失函数，然而该函数不可导，不易于优化，因此选择误分类点到超平面的距离和：\[\frac{\left | w\cdot x +b \right |}{\left \| w \right \|}\] 此处\({\left \| w \right \|}\)是\(w\)的第二范数。注意需要优化的只是误分类的点，对于误分类的点有，\[-y_i(w\cdot x + b)>0\]恒成立，因此可去掉绝对值符号，并假设当前超平面的误分类的点的集合为M，由此得到感知机学习的损失函数为\[L(w,b)=-\sum_{x_i\in M}y_i(w\cdot x_i+b)\] 其中M为误分类的点的集合。显然该损失函数是非负的，当没有误分类的点时\(L(w,b)=0\).只需将损失函数优化到0即得到该分类超平面，不过由该方法得到的超平面的解不是唯一的（显然只需要能够正确分类时算法即停止）。

• 感知机学习算法

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  感知机所用优化方法是随机梯度下降法，包括原始形式和对偶形式。
  

1. 原始形式

   前面已经确定了感知机的损失函数，那么其原始形式只需要最小化这个损失函数即可。
   \[\underset{w,b}{min}L(w,b)=-\sum_{x_i\in M}y_i(w\cdot x+b)\]其中M为误分类的点的集合。
   随机梯度下降法初始时任选\(w_0\),\(b_0\)作为初始超平面，计算有哪些误分类点，如果有误分类点，随机选取一个误分类点，进行梯度下降。即先计算损失函数的梯度
   \[ \begin{aligned} \triangledown _wL(w,b)&=-\sum_{x_i\in M}y_ix_i \\ \triangledown_wL(w,b)&=-\sum_{x_i\in M}y_i \end{aligned} \]梯度下降法使参数向反方向变化，使用随机选出的误分类点的数据，根据提前设置好的学习率\(\eta\)对\(w,b\)进行更新就可以了
   \[ \begin{aligned} w& \leftarrow w+\eta y_ix_i \\ b& \leftarrow b+\eta y_i \end{aligned} \]这样便可使损失函数不断减小，直到为0时就得到了可正确分类数据集的超平面。

2. 对偶形式

   在原始形式的学习算法中，可以看到每次更新\(w,b\)的数值都是选中的点\((x_i,y_i)\)的线性组合，那么\(w,b\)必然可以用\((x_i,y_i)\)线性表示，这样我们可以通过求解该线性组合的系数找到该超平面。对上节\(w,b\)的更新中，设总共修改N次，可将每次\(w,b\)增量表示为\(\alpha _iy_ix_i,\alpha _iy_i\)，其中\(\alpha = n_i\eta\)，假设\(w_0=b_0=0\)(这无关线性）。于是更新过程表示为
   \[ \begin{aligned} w&=\sum_i\alpha _iy_ix_i\\ b&=\sum_i \alpha _iy_i \end{aligned} \]这里\(\alpha _i=n_i\eta _i\)的含义是在该学习率下\((x_i,y_i)\)在最后学习到的\(w,b\)中所贡献的权重，就是最后平面的\(w,b\)的系数，也是因该点误分类也进行更新的次数*\(\eta\)。由此，感知机模型可由\(\alpha ,b\)表出。
   \[f(x)=sign(\sum_j\alpha _jy_j\cdot x + b)\]在判断是否是误分类点时用
   \[y_i(\sum _j\alpha _jy_jx_j\cdot x_i + b)\leqslant 0\]更新时
   \[ \begin{aligned} \alpha _i &\leftarrow \alpha _i +\eta\\ b &\leftarrow b + \eta y_i \end{aligned} \]可以看到该计算过程中训练数据全部由内积得到，因此可以提前将内积计算出来由矩阵存储，可以减少算法过程中的计算量，这是Gram矩阵。\[G= [x_i \cdot x_j]_{N*N}\]