洛谷$P4318$ 完全平方数 容斥+二分

正解:容斥/杜教筛+二分

解题报告:

传送门$QwQ$

首先一看这数据范围显然是考虑二分这个数然后$check$就计算小于等于它的不是讨厌数的个数嘛.

于是考虑怎么算讨厌数的个数?

看到这个讨厌数说,不能是完全平方数的倍数,不难想到可以理解为将$x$质因数分解后不存在指数大于1的情况.

这时候自然而然能联想到莫比乌斯函数?因为根据定义有,只有质数大于1时等于0其他时候为$\pm 1$.

所以答案就$\sum (\mu(i))^2$.杜教筛就好(因为,我,不会杜教筛,所以一句话就带过去了$kk$,可能等我学了杜教筛会来补锅的趴,,?$QwQ$

法二考虑容斥,即答案=总数-一个质因子的平方的倍数+两个不同质因子的平方的倍数-三个不同质因子的平方的倍数...

不解释了趴我$jio$得还挺显然的$QwQ$

考虑怎么求呢?再次想到莫比乌斯函数的特殊性质,考虑枚举这个平方根$i$,贡献显然就$\frac{n}{i^2}$.考虑系数?发现系数取决于质因子的个数的奇偶性,依然根据莫比乌斯函数的定义有,质因子个数为奇数时为负一,质因子个数为偶数是为正一.且质因子质数大于1时等于0保证了一定是不同质因子.

综上,可以得到答案$ans=\sum_{i=1}^{i^2\leq n}\mu(i)\cdot \frac{n}{i^2}$

$over$?

 

#include
using namespace std;
#define il inline
#define fi first
#define sc second
#define gc getchar()
#define mp make_pair
#define int long long
#define P pair
#define ri register int
#define rc register char
#define rb register bool
#define rp(i,x,y) for(ri i=x;i<=y;++i)
#define my(i,x,y) for(ri i=x;i>=y;--i)
#define e(i,x) for(ri i=head[x];i;i=edge[i].nxt)

const int N=1e6+10;
int n,m,miu[N],pr[N],pr_cnt;
bool is_pr[N];

il int read()
{
    rc ch=gc;ri x=0;rb y=1;
    while(ch!='-' && (ch>'9' || ch<'0'))ch=gc;
    if(ch=='-')ch=gc,y=0;
    while(ch>='0' && ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0'),ch=gc;
    return y?x:-x;
}
il void pre()
{
    miu[1]=1;
    rp(i,2,N-10)
    {
        if(!is_pr[i])pr[++pr_cnt]=i,miu[i]=-1;
        rp(j,1,pr_cnt)
        {
            if(i*pr[j]>N-10)break;;is_pr[i*pr[j]]=1;
            if(!(i%pr[j])){miu[i*pr[j]]=0;break;}
            miu[i*pr[j]]=-miu[i];
        }
    }
}
il int check(ri x)
{
    ri ret=0;
    for(ri i=1;i*i<=x;++i)ret+=miu[i]*(x/i/i);
    return ret;
}

signed main()
{
    //freopen("4318.in","r",stdin);freopen("4318.out","w",stdout);
    ri T=read();pre();
    while(T--)
    {ri K=read(),l=1,r=K<<1;while(l>1;if(check(mid)>=K)r=mid;else l=mid+1;}printf("%lld\n",l);}
    return 0;
}

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