【离散数学】图论（四）哈密顿回路（Hamiltonian cycle）

正文之前

本次我们要介绍与欧拉图相对应的哈密顿图的有关内容：

• 哈密顿回路(Hamiltonian cycle)
• 哈密顿图(Hamiltonian Path)
• 旅行推销员问题简介(Travelling salesman problem)

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正文

哈密顿回路

1. 定义：

在一个回路中，除了经过初始结点两次以外，恰好经过每个结点一次，则称此回路为哈密顿回路，哈密顿回路中每个结点都为偶结点

2. 证明

• 由于现在还没有判断一个图中是否存在哈密顿回路的定理，所以我们只能根据自己的经验来判断，下文分别以一个简单的图和一个复杂的图来证明

简单的图

1. 在上图中，共有5个结点，可想而知，如果存在哈密顿回路，就必须有5条边，且每个结点都为偶结点。

2. 所以我们尝试删去某一些边来达到目的，v₁和v₃为奇结点，我们从此下手，分别去掉一条与v₁和v₃相关联的边，那么只剩下4条边，不符合条件，所以此图中不存在哈密顿回路。

复杂的图

1. 在上图中，假设有一个哈密顿回路，由于v₁和v₃是度数为2的结点，所以v₁和v₃所关联的边(v₁,v₈)、(v₁,v₂)、(v₂,v₃)、(v₃,v₄)一定在回路中。

2. 结点v₂，v₇，v₅度数不为2，所以我们删去边(v₂,v₇)和(v₂,v₅)

3. 结点v₅，v₆，v₇的度数为2，所以现在形成了一个回路(v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆,v₇,v₈)

4. 图中还存在结点v₉，将v₉加入回路中就势必会增加某些点的度数，所以使得某些点的度数大于2

通过上述几点，可得出上图中不存在哈密顿回路

哈密顿图

定义：在图G中，若含有哈密顿回路，则称图G为哈密顿图

• 上图中，存在哈密顿回路(v₁,v₂,v₅,v₃,v₄,v₁)，所以上图可称为哈密顿图

旅行推销员问题简介

问题内容

给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。             ——Wikipedia

这个问题是基于寻找哈密顿回路的基础上，只不过所对应的图是加权无向图，在接下来。

这一篇的内容就到此为止了，接下来会有一篇文章专门介绍旅行推销员问题问题，谢谢大家！