P4525 【模板】自适应辛普森法1

P4525 【模板】自适应辛普森法1

题目描述

• 给定\(a,b,c,d,L,R,\)计算积分

• 结果保留至小数点后6位。

• 数据保证计算过程中分母不为0且积分能够收敛。

输入格式

• 一行，包含\(6\)个实数\(a,b,c,d,L,R\)

输出格式

• 一行，积分值，保留至小数点后\(6\)位。

输入输出样例：

输入：

1 2 3 4 5 6

输出：

2.732937

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题解

公式题，结论：
\(\int\frac{cx+d}{ax+b}dx=\frac{(ad-bc)ln|ax+b|+acx}{a^2}\)

证明如下：\((\frac{(ad-bc)ln|ax+b|+acx}{a^2})'\)

\(=\frac{((ad-bc)ln|ax+b|)'+(acx)'}{a^2}\)

\(=\frac{(ad-bc)}{a^2}(ln|ax+b|)'+\frac{c}{a}\)

设\(f(x)=ln|x|,g(x)=ax+b,\)

根据链式法则，\((ln|ax+b|)'=(f(g(x)))'=g'(x) * f'(g(x))=a * \frac{1}{ax+b}\)

∴原式 $ =\frac{(ad-bc)}{a^2} * a * \frac{1}{ax+b}+\frac{c}{a}$

\(=\frac{(ad-bc)}{a} * \frac{1}{ax+b}+\frac{c}{a}\)

\(=\frac{ad-bc}{a(ax+b)}+\frac{c}{a}\)

\(=\frac{ad-bc+c(ax+b)}{a(ax+b)}\)

\(=\frac{ad+acx}{a(ax+b)}\)

\(=\frac{d+cx}{ax+b}\)

证毕

但是这题有坑点，着实有坑到我：

1. 求\((\frac{1}{x})'\)时忘记套上绝对值，会 wa 两个点

2. \(a=0\)的时候需要特判，重新积分可得\(\int\frac{cx+d}{b}dx=\int(\frac{c}{b}x+\frac{d}{b})dx=\frac{c}{2b}x^2+\frac{d}{b}x,\)不这么做会 wa 四个点

代码

极其简单

#include
using namespace std;
double a,b,c,d,l,r;
int main(){
    cin>>a>>b>>c>>d>>l>>r;
    if(a==0){
        printf("%.6lf",(r*r-l*l)*c/b/2+d*(r-l)/b);
        return 0;
    }
    printf("%.6lf",(a*c*(r-l)+(d*a-b*c)*(log(abs(a*r+b))-log(abs(a*l+b))))/a/a);
    return 0;
}