信号处理-傅里叶变换

连续时间傅里叶变换

  周期信号可是使用复指数信号的线性组合，对于分析线性时不变系统有很重要的性质。傅里叶最重要的贡献之一就是把周期信号推广到非周期信号，傅里叶曾认为：一个非周期信号能够看成周期无限长的周期信号。
  现在考虑一个信号\(x(t)\)，它具有有限持续期，即对某\(T_1\)，当\(|t|>T_1\)时，\(x(t) = 0\)，如图a所示：

从这个非周期信号出发，可以构成一个周期信号 \(\tilde{x}(t)\)，使 \(x(t)\)就是 \(\tilde{x}(t)\)的一个周期，如上图b所示。当 \(T\)比较大时， \(\tilde{x}(t)\)就在一个更长的时段上与 \(x(t)\)一致，随着 \(\tilde{x}(t)\rightarrow\infty\)，对任意有限时间 \(t\)值而言， \(\tilde{x}(t) = x(t)\)。有傅里叶级数我们可以得出：
\[\tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_ke^{jk{\omega_0}t}}\]
\[a_k = \frac1T\int_{-T/2}^{+T/2}{\tilde{x}(t)e^{-jk{\omega_0}t} }\]
其中 \(\omega_0 = 2\pi/T\)，同时我们把 \(\tilde{x}(t)\)替换成 \(x(t)\)，得:
\[a_k = \frac1T\int_{-T/2}^{+T/2}{\tilde{x}(t)e^{-jk{\omega_0}t} } = \frac1T\int_{-\infty}^{+\infty}{x(t)e^{-jk{\omega_0}t} }\]
因此，我们定义 \(Ta_k\)的包络 \(X(jw)\)为
\[X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} {x(t)e^ {-jk {\omega_0} t} }\,{\rm d}t\]
这时，系数 \(a_k\)可以写为
\[a_k = \frac1TX(jw_0)\]
\(\tilde{x}(t)\)为
\[\tilde{x}(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}{\frac1TX(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}}\]
或者，因为 \(2\pi/T = \omega_0\)， \(\tilde{x}(t)\)又可以表示为
\[\tilde{x}(t) =\frac1{2\pi}\sum_{k = -\infty}^{+\infty}{X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0}\]
随着 \(T\rightarrow\infty\)， \(\tilde{x}(t) \rightarrow x(t)\)， \(\omega_0 \rightarrow 0\)，记 \(\omega_0 = \omega\)则：
\[x(t) =\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{X(jk\omega)e^{jk\omega t}}\,{\rm d}\omega\]
\[X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} {x(t)e^ {-jk {\omega} t} }\,{\rm d}t\]
上两式即为傅里叶变换对(fourier transform pair)。函数 \(X(j\omega)\)称为 \(x(t)\)的傅里叶变换或者傅里叶积分(fourier integral)。上两式分别称为 综合公式和 分析公式