时间序列（二）分解、各部分计算方法

一、描述

为了观察时间序列的趋势、周期性、误差，我们需要对序列进行分解。

 

二、Code

分解的成分主要有三类

1. Trend
2. Seasonal
3. Residual

 1 # author: adrian.wu
 2 import numpy as np
 3 from matplotlib import pyplot as plt
 4 import pandas as pd
 5 from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
 6 from datetime import datetime
 7 
 8 path = """/Users/adrian.wu/PycharmProjects/jobs/time_series/data/19_01_by_day.csv"""
 9 timeseries = pd.read_csv(path)
10 data_raw = timeseries['num']
11 
12 fig, ax = plt.subplots(1, 1)
13 
14 timeseries = np.array(timeseries['num'])
15 length = len(timeseries)
16 print(length)
17 timeseries = np.log(timeseries)
18 df = pd.DataFrame(data=timeseries, index=pd.date_range(start=datetime(2019, 1, 1), periods=length, freq='d'),
19                   columns=['value'])
20 
21 decomposition = seasonal_decompose(df)
22 
23 trend = decomposition.trend
24 seasonal = decomposition.seasonal
25 residual = decomposition.resid
26 
27 plt.subplot(411)
28 plt.plot(trend, label='Trend')
29 plt.xticks(rotation=90, fontsize=9)
30 plt.legend(loc='best')
31 plt.subplot(412)
32 plt.plot(seasonal, label='Seasonality')
33 plt.xticks(rotation=90, fontsize=9)
34 plt.legend(loc='best')
35 plt.subplot(413)
36 plt.plot(residual, label='Residuals')
37 plt.xticks(rotation=90, fontsize=9)
38 plt.legend(loc='best')
39 plt.tight_layout()
40 plt.show()

 

三、结果

 

由Seasonality可以看出周期性为7天。因此由这个信息就可以做很多事情了

 

四、STL算法

STL为时序分解中一种常见的算法。基于LOESS将某时刻的数据Y_v分解为趋势分量、周期分量和余项

STL分为内循环与外循环，其中内循环主要做了趋势拟合与周期分量的计算。假定T_v(k)、S_v(k)为内循环中第k-1次pass结束时的趋势分量、周期分量，初始时T_v(k)=0；并有以下参数：

• n_(i)内层循环数
• n_(o)外层循环数
• n_(p)为一个周期的样本数
• n_(s)为Step2中LOESS平滑参数
• n_(l)为Step3中LOESS平滑参数
• n_(t)为Step6中LOESS平滑参数

每个周期相同位置的样本点组成一个子序列（subseries），容易知道这样的子序列共有n(p)个，我们称其为cycle-subseries。内循环主要分为以下6个步骤：

• Step1: 去趋势，减去上一轮结果的趋势分量，Y_v-T_v(k);
• Step2: 周期子序列平滑(Cycle-subseries smoothing)，用LOESS对每个子序列做回归，并向前向后各延展一个周期；平滑结果组成temporary seasonal series，记为C。
• Step3: 周期子序列的低通量过滤(Low-Pass Filtering)，对上一个步骤的结果序列C依次做长度为n(p)，n(p)、3的滑动平均（moving average），然后做LOESS(q=n, d=1)回归，得到结果序列L_v，相当于提取周期子序列的低通量。

• Step4: 去除平滑周期子序列趋势（Detrending of Smoothed Cycle-subseries），S_v=C_v-L_v

• Step5:去周期（Deseasonalizing），减去周期分量，Y_v-S_v(k+1)
• Step6:趋势平滑(Trend Smoothing)，对于去除周期之后的序列做LOESS回归，得到趋势分量T_v(k+1)。

外层循环主要用于调节robustness weight。如果数据序列中有outlier，则余项会较大。定义

h = median(R|_v|)

 对于位置为v的数据点，其robustness weight为