概率函数P(x)、概率分布函数F(x)、概率密度函数f(x)

“离散型随机变量”和“连续型随机变量”
离散型变量：所有取值可明确列举，如年龄、人数、房间个数等。
连续型变量：所有取值无法明确列举，如身高、长度、温度等。

离散随机变量单值有概率，连续随机变量单值无概率
对于离散型变量而言，可以用概率函数P(x)描述所有取值x的对应概率；
而对于连续型变量而言，“取某个具体值的概率”的说法是无意义的，只能说“取值落在某个区间内的概率”，或“取值落在某个值领域内的概率”，因此对连续型变量提“概率函数”是不恰当的。连续型随机变量取某些具体值的概率为零
就好比说从所有的自然数中任取一个数，求这个数是1的概率？你想从所有的自然数中取一个，当然是有可能取到1的，但是自然数有无穷多个，因此取到1的概率可以认为是1/∞，因此就是0。类似的，连续型随机变量的取值是连续变化的，当然有无穷多，所以取到某个特定值的概率也为0。又例如扔飞镖，落在靶心的概率为0，虽然这是有可能发生的，因为靶盘上有无数个点。
在连续型随机变量中：概率为0的事件是有可能发生的，概率为1的事件不一定必然发生。

概率分布函数和概率密度函数正是用于描述连续型变量的函数。

概率分布：给出了所有取值及其对应的概率（少一个也不行），可见只对离散型变量有意义，例如：

概率分布.png

概率函数：用函数形式给出每个取值发生的概率，P(x)（x=x1，x2，x3，……），只对离散型变量有意义，实际上是对概率分布的数学描述。

注意：概率分布和概率函数只对离散型变量有意义，那如何描述连续型变量呢？答案就是“概率分布函数”和“概率密度函数”。

概率分布函数：给出取值小于某个值的概率，是概率的累加形式
F(x)=P(xi

概率分布函数性质.png

概率分布函数基本形状.png

概率密度函数：给出了xi落在某值x邻域内的概率变化快慢，概率密度函数的值不是概率，而是概率的变化率，概率密度函数下面的面积才是概率。

概率密度函数定义.png

概率密度函数性质.png

概率分布函数和概率密度函数之间的关系.png

注意.png

约定.png

连续型变量概率、概率密度分布函数、概率密度函数之间的关系（以正太分布为例）如下图：
对于正太分布而言，x落在u附近的概率最大，而F(x)是概率的累加和，因此在u附近F(x)的递增变化最快，即F(x)曲线在（u，F(u)）这一点的切线的斜率最大，这个斜率就等于f(u)。X落在a和b之间的概率为F(b)-F(a)，图中的红色小线段，而在概率密度曲线中是f(x)与ab围成的面积S。如下图所示。

概率、概率分布函数、概率密度函数之间的关系.png

概率密度函数在某一点的值表示什么意义？
某点的概率密度函数f(a)即为F(a)在该点的变化率(或导数)。切不可认为f(a)=P(a).