有符号数在计算机中的表达方式

有符号数的主要用途是表示负数。

在某些语言里数值类型可标志为有符号或无符号，如 c 语言的整数类型 int 默认是有符号，加上 unsigned 就是无符号。

有符号表达方式里将最高位 MSB 用作符号位，因此对于位数为32的有符号数能表示的非负整数范围为

比无符号中的

少了大概一半：2147483647 * 2 + 1 = 4294967295。

目前主导的表达方式为更先进的 two's complement，只有很老的系统还在使用 ones' complement 或者 sign-magnitude ，以下会对它们进行描述和比较。

sign-magnitude

sign-magnitude 正如其名把位数分为 sign 和 magnitude 部分。
最高位作为 sign 表示符号，其余位作为 magnitude 表示数值。
这种表达方式对人来说最容易理解，例如

binary	sign-magnitude interpretation
0000 0000	+0
...	...
0111 1111	127
1000 0000	-0
...	...
1111 1111	-127

可表达范围从

到

但这种表达方式有2个缺点

• 对于0来说有2种表达方式：+0和-0
• cpu需要额外的减法部件进行减法运算

ones' complement

ones' complement 表达方式中负数的表达通过对相应正数进行取反位操作（包括符号位）取得，可对比以下 127 与 -127 的表达方式。
反过来，对负数的表达取反可取得相应正数的表达。

binary	ones' complement interpretation
0000 0000	+0
...	...
0111 1111	127
1000 0000	-127
...	...
1111 1111	-0

它不像 sign-magnitude 需要额外减法部件来进行减法运算，它的减法实际上也是加法，只是遇到超过最高位进位时需要进行 end-around carry 将进位的1加回上去才能得到正确的结果，例如
−1 1111 1110 与 +2 0000 0010 相加

      binary    decimal
    11111110     −1
 +  00000010     +2
............      …
  1 00000000      0   ← 不是正确的结果
           1     +1   ← 加上进位
............      …
    00000001      1   ← 正确的结果

有趣的一点是 sign-magnitude 和 ones' complement 的负数表达形式可以通过对除符号位外的位取反相互获得。
例如 -127 在 sign-magnitude 和 ones' complement 中分别是 1111 1111 和 1000 0000。

它的可表达范围与 sign-magnitude 相同。

但它还是存在 sign-magnitude 中另一个缺点

• 对于0来说有2种表达方式：+0和-0

two's complement

对two's complement 表达方式来说，以上2种表达方式的缺点都不复存在。
负数表达的获得步骤是

1. 对相应正数（包括符号位）取反。
2. 加一

binary	two's complement interpretation
0000 0000	0
...	...
0111 1111	127
1000 0000	-128
1000 0001	-127
...	...
1111 1111	-1

对于0只有一种表达

two's complement 的设计让它对于0只有一种表达方式 0000 0000，因此比 sign-magnitude 和 ones' complement 都多出一个 binary code，能多表示一个负数。

因此 two's complement 的表达范围从

到

加法和减法

与 ones' complement 一样，它不需要额外的减法部件进行减法运算，更优胜的是它不需要 end-around carry 就可以获得正确结果。
如 -1 1111 1111 与 +2 0000 0010 相加

      binary    decimal
    11111111     −1
 +  00000010     +2
............      …
  1 00000001      1   ← 最高位进位直接舍弃
............      …
    00000001      1   ← 正确的结果

名字由来

至于为什么叫作 two's complement 呢，因为获得负数的表达除了以上提到的方法外，还有另一种能体现这个名字的方法。
假设位数为 n 的正数 x，那负数 -x 的表达就是 x 的 2的n次幂 的补集

例如 n=8, 正数 7 0000 0111，那负数 -7 的表达可通过以下获得

也就是 -7 在 two's complement 中的表达为 1111 1001。