【离散数学】图论（一）图的基础知识

正文之前

由于最近学习的 数据结构和算法 以及 离散数学 两门课都涉及到了 图 这个知识点，正好借此机会归纳一下我所学的内容。

正文

一个图看起来是由一些小圆点（称为顶点或结点）和连接这些圆点的直线或曲线（称为边）组成的            —Wikipedia

图的定义：

• 图G是由两个集合V和E组成(记做 G = (V, E))：
  V = {v₁,v₂,v₃,...v_n,} 是由G的结点(vertex)组成的集合
  E = {e₁,e₂,e₃,...e_n} 是由连接两个结点的边(edge)组成的集合

• (无向图)若边e(唯一的边)连接结点v₁和v₂, 则表示为 e = (v₁,v₂)或 e = (v₂,v₁)，表示连接结点v₁和结点v₂的边

• (有向图)若边e(唯一的边)连接有序结点对v₁和v₂, 则表示为 e = (v₁,v₂)，
  表示一条从结点v₁到结点v₂的边

• (有向图和无向图)G中的一条边连接结点v₁和结点v₂，则称结点v₁和结点v₂相关联，结点v₁和结点v₂是相邻结点

• (有向图和无向图)一般情况下，E 和 V 都是有限的集合，且 V 为非空

  
  
  

在此无边图中

结点v₁、结点v₂、结点v₃和结点v₄都没有边与之相连，所以称这四个结点为孤立顶点(isolated vertex)

图的分类：

图的分类很多种，包括有/无向图，简单图/多重图等等

• 有向图(directed graph)：图的每一条边带有一个箭头，表示一个方向

• 无向图(undirected graph)：图的每一条边不带箭头，没有方向

• 简单图(simple graph)：既没有圈也没有平行边的图称为简单图

• 多重图(multigraph)：含有圈和平行边的图，支持两结点间的边数多于一条

一般情况下所称的图是无向图，圈和平行边的定义将在下文给出。

在此多重图中

• 边e₂和边e₃都连接了结点v₂和结点v₃，所以称边e₂和边e₃为平行边(parallel edge)。
• 边e₅ = (v₄,v₄)，所以称边e₅为圈(loop)。

图的结构

将以此图举例解释以下内容

路径

• 路径(path)：从一个结点v₁到另一个结点v_n所经过的路程，表示为(v₁,e₁,v₂,e₂,...e_n,v_n)
  例如：(v₁,e₁₀,v₇,e₇,v₆,e₅,v₅,e₄,v₄,e₆,v₇)
  

• 简单路径(simple path)：从结点v_i到v_j的不存在重复结点的路径
  例如：(v₁,e₁,v₂,e₂,v₃）
  

回路

• 回路(cycle)：从v_i到v_i的路径，长度非0，不存在重复边的路径
  例如：(v₁,e₁₀,v₇,e₇,v₆,e₅,v₅,e₄,v₄,e₆,v₇,e₉,v₈,e₁₁,v₁)
  

• 简单回路(simple cycle)：从v_i到v_i的回路，除了开始和结束的结点相同之外，不存在相同的结点
  例如：(v₁,e₁₀,v₇,e₉,v₈,e₁₁,v₁)
  
  

连通图(connected graph)

• 存在从任意一个结点v_i到另外一个任意结点v_j的路径的图（所有结点都是连通的图），反之，就是非连通图，上述的简单图和多重图都是连通图

子图

• 在非联通图G中，通常有多个部分，每个部分都称为G的子图
  
  
  G₁ = (V, E), V = {v₁,,v₂,v₃}, E = {e₁,e₂,e₃}
  G₂ = (V, E), V = {v₄,v₅}, E = {e₄}
  G₃ = (V, E), V = {v₆}, E为空集

这些就是我目前所学的图的基础知识部分，后面的几篇文章会讲述和图有关的问题，谢谢！