LIBSVM与LIBLINEAR（二）

模型与优化

LIBSVM和LIBLINEAR都提供了多种不同的模型供使用者选择，不同的模型有各自适用的场景。下面分别介绍LIBSVM和LIBLINEAR所提供的各种模型。

LIBSVM

下面是LIBSVM帮助内容提供的介绍，给出了LIBSVM支持的5种模型。其中模型0和1对应的都是SVM的分类模型，2对应的是one-class分类器，也就是只需要标注一个标签，模型3和4对应的是SVM的回归模型。

LIBSVM包含的各种模型：

-s svm_type : set type of SVM (default 0)
    0 -- C-SVC        (multi-class classification)
    1 -- nu-SVC        (multi-class classification)
    2 -- one-class SVM
    3 -- epsilon-SVR    (regression)
    4 -- nu-SVR        (regression)

首先来看最基础的C-SVC模型。SVM可以写成如下的优化目标函数（这里不详细介绍推导算法了）：

当模型使用linear kernel，也就是ϕ(x)=x时，上面的问题一个标准的二次凸优化问题，可以比较方便的对每一个变量进行求导。求解这样的问题是有很多快速的优化方法的，这些方法在LIBLINEAR中都有应用。但是如果是引入kernel的SVM，情况就大不一样了。因为很多时候我们既不能得到核函数的具体形式，又无法得到特征在核空间中新的表达。这个时候，之前用在线性SVM上的的求解思路就完全不work了。为了解决这个问题，就必须采用标准的SVM求解思路，首先把原问题转化为对偶问题，得到下面的目标函数（具体过程可以参考任何介绍SVM的资料）：

通过对偶变化，上面的目标函数变成了一个关于变量α的二次型。很显然，上面目标函数中最重要的常亮是矩阵Q，既训练样本的Kernel Matrix，满足$$Q_{i.j}=ϕ(x_i)^Tϕ(x_j)$$
先看好的一方面，根据核函数的定义，能够保证Q是一个正定的矩阵。也就是说，上面的目标函数还是一个凸函数，优化收敛后能保证得到的解是全局最优解， 这也是SVM的重要优势之一。但是问题也随之而来，使用常用的核函数，只要任意给出两个向量，总是能够计算出一个非0的距离。这也就意味着矩阵Q将会是一个非常稠密的矩阵，如果训练样本足够多，那么矩阵Q的存储和计算将成为很大的问题，这也是SVM的优化算法中的最大挑战。

由于矩阵Q过大，所以想一次性优化整个α是比较困难的。所以常用的方法都是先把Q大卸八块，每次选择一部分的Q，然后update与这部分Q相关的α的值。这其中最著名的算法就是1998由John C. Platt提出的SMO算法，而LIBSVM的优化过程也是基于SMO算法进行的。SMO算法的每一步迭代都选择最小的优化单元，也就是固定其他的α，只挑选两个α的值进行优化。之所以不选择一个，是因为有$$y^Tα=0$$
的约束，至少选择两个α的坐标才有可能进行更新。本文主要目的是介绍LIBSVM，所以就不详细讨论SMO的细节了。至于LIBSVM中的具体算法实现，在LIBSVM的官方论文中介绍的很详细，这里总结部分关键问题：

• Working Set，也就是需要优化的α部分的选取

• 迭代停止条件的设置

• α的更新算法，也就是每一步子问题的求解方法

• Shrinking，即移除一些已经满足条件的α，加快收敛速度

• Cache，当Q矩阵过大时，需要对矩阵进行缓存。

上面的每个问题，处理起来都不简单。作为使用者，或许也没有必要深谙里面的所有细节。我觉得最需要认识的两个问题是：

• 1) SVM的目标函数看起来好像是一个标准的优化问题，但实际求解却要复杂得多。为了提高求解的速度，既要做算法上的优化，也需要做工程上的改进。如果只是简简单单按照教科书的方法，甚至直接调用一些优化的工具包来实现的SVM算法，最多也就算个demo。要能够真正写一个高效稳定、能处理大规模数据的SVM工具还是非常不容易的。所以用LIBSVM还是比自己实现算法要简单靠谱不少。

• 2)SVM的求解之所以要优化，就是因为这个问题本身计算和存储比较麻烦。所以虽然做了这么多的优化，整个算法求解的效率仍然较低。所以我们在使用时还要注意各种程序的细节，提高运行的效率。另外，样本量过大时，有时候为了充分利用数据，也不得不忍痛割爱，放弃kernel的使用。

除了标准的C-SVM，LIBSVM也提供了对其他一些SVM方法的支持。其中ν-SVM与C-SVM的算法与应用场景基本是相同的，唯一的区别是原本的参数C变成了参数ν。C-SVM中参数C调整范围在[0,+∞)，而ν-SVM中与之对应的参数ν的调整范围变成了 (0,1]。这样的设置使得ν-SVM更具解释性，有时在参数设置上也能提供一定的方便。但ν-SVM与C-SVM并不存在本质上的差别，通过参数的调节，两者可以达到完全相同的效果。所以在使用LIBSVM处理分类问题是，选择上面任何一种方法都是OK的，只需要遵循自己的习惯就好了。

One-Class SVM也是LIBSVM所支持的一种分类方法。顾名思义，使用One Class时，只需要提供一类样本，算法会学习一个尽量小的超球面包裹所有的训练样本。One-Class SVM看起来很有诱惑力，因为我们经常会遇到有一类样本而需要学习分类器的情况。但事实上，一方面很多时候我们得到的正样本在采样过程中存在很大的偏差，导致学习出的One Class分类器不一定考虑到了所有正样本的情形；另一方面，大部分问题还是存在很多构造人工负样本的办法。根据我的经验，采用普通的SVM效果通常还是会好过One-Class SVM，而One-Class SVM在真实场景中的使用也并算不上多。因此在使用这个方法前也需要对问题进行更深入的研究。

最后，LIBSVM也支持基于SVM的回归模型，即SVR。与分类模型类似，SVR也分为C-SVR和ν-SVR。SVR的目标函数与SVM的分类模型稍有区别。由于回归问题预测值与目标值的偏差可大可小，因此SVR使用了两个slack variable用来刻画预测的误差边界。虽然存在这样的差别，但是两者的基本思路和优化算法与还是基本一致的。

在LIBSVM的实现中，上面五种模型，即C-SVM，ν-SVM，One-class SVM，C-SVR，ν-SVR，最终都可以转化为一个更通用的优化框架，然后用同样的策略进行求解，这也是LIBSVM所实现的主要功能。在实际使用中，最常用到的方法还是C-SVM，这是最传统的SVM分类模型。