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I.数学基础-1.运筹学-变分法

《变分法基础》

1.3.1 方向导数及梯度

方向导数:$$\frac{\partial \varphi}{\partial\bf{L}}=(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\bf{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\bf{j}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\bf{k})\cdot\bf{L^{0}=grad\varphi\cdot\bf{L}0}=\nabla\varphi\cdot\bf{L^0} $$

矢量$\nabla\varphi$称为梯度，当$\nabla\varphi$与$\bf{L^0}$同向时，$\dfrac{\partial \varphi}{\partial\bf{L}}$最大，所以$\nabla\varphi$是$\varphi$变化最大的方向。

1.3.2 通量及散度

1.3.3 高斯定理和格林公式

2.1 古典变分问题

1. 最速降线问题：$$T=\int_0^{{x_1}\dfrac{\sqrt{1+y'}2}}{\sqrt{2gy}}dx$$

2.2 变分的基本概念

2. 以函数为自变量的函数称为泛函（Functional）
3. 函数$y(x)$与$y_0(x)$在区间$[a,b]$的$n$级距离：$$d_n[y(x),y_0(x)]=\underset{0\leqslant i \leqslant n}{max}\space\underset{a\leqslant x \leqslant b}{max}\mid y^{(i)}(x)-y_0{(i)}(x)\mid$$
4. $y_0(x)$在$[a,b]$的$n$级$\delta$领域：$$N_n[y_0(x),\delta]=\left{y(x)\mid y(x)\in C^n[a,b],d_n[y(x)-y_0(x)]<\delta\right}$$
5. $x\in[x_0,x_1]$：$$\delta y=y(x)-y_0(x)=\varepsilon \eta(x)$$
   $\eta(x)$为$x$的任意函数，且$\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$

2.3 最简泛函的变分与极值的必要条件

1. 最简单的积分型泛函：$$J[y(x)]=\int_{x_0}^{x_1}F(x,y(x),y'(x))dx$$
   其中被积函数$F$称为泛函的核
2. 推导：
   $$\begin{split}
   \Delta J &=J[y_1(x)]-J[y(x)]\cr
   &=J[y(x)+\delta y]-J[y(x)]\cr
   &=\int_{x_0}^{x_1}F(x,y+\delta y,y'+\delta y')dx-\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx\cr
   &=\int_{x_0}^{x_1}\left[F(x,y+\delta y,y'+\delta y')-F(x,y,y')\right]dx\cr
   &=\int_{x_0}^{x_1}\left[F(x,y,y')+(\delta y\frac{\partial}{\partial y}+\delta y'\frac{\partial}{\partial y'})F(x,y,y')+\frac{1}{2}(\delta y\frac{\partial}{\partial y}+\delta y'\frac{\partial}{\partial y'})^2F(x,y,y')-F(x,y,y')\right]dx\cr
   &=\int_{x_0}^{x_1}(F_y\delta y+F_{y'}\delta y')dx+\varepsilon d_1[y_1(x)-y(x)]\end{split}$$
3. 泛函增量的主要部分：
   $$L[y,\delta y]=\int_{x_0}^{x_1}(F_y\delta y+F_{y'}\delta y')dx$$
4. $L[y,\delta y]$称为泛函$J[y(x)]$在$y(x)$上的一阶变分或一次变分，简称变分，记作$\delta J[y(x)]$。
   $$\begin{split}
   \delta J[y(x)]&=\int_{x_0}^{x_1}(F_y\delta y+F_{y'}\delta y')dx\cr
   &=\varepsilon\int_{x_0}^{x_1}(F_y\eta+F_{y'}\eta')dx
   \end{split}$$
5. 若泛函$J[y(x)]$在$y=y(x)$上达到极值，则在$y=y(x)$上的变分$\delta J$等于零
6. 化简：
   $$\begin{split}\int_{x_0}^{x_1}(F_y\delta y+F_{y'}\delta y')dx
   &=\int_{x_0}^{x_1}\left(F_y\delta y+(F_{y'}\delta y)'-\delta y\frac{d}{dx}F_{y'}\right)dx\cr
   &=F_{y'}\delta y\mid_{x_0}^{{x_1}+\int_{x_0}}{x_1}(F_y-\frac{d}{dx}F_{y'})\delta y dx\cr
   &=\int_{x_0}^{x_1}(F_y-\frac{d}{dx}F_{y'})\delta y dx\end{split}$$

2.4 最简泛函的欧拉方程

1. 使最简泛函取极值：
   $$\begin{split}
   J[y(x)]=&\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx\cr
   \mbox{s.t.}\space\space & y(x_0)=y_0 \cr
   & y(x_1)=y_1
   \end{split}$$
2. 欧拉方程：
   $$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0$$
3. 欧拉方程只是泛函取极值的必要条件；

2.5 欧拉方程的几种特殊类型及其积分

1. $F=F(x,y)$
2. $F(x,y,y')=M(x,y)+N(x,y)y'$
3. $F=F(x,y')$
4. $F=F(y')$
5. $F=F(y,y')$

2.6 依赖于多个一元函数的变分问题

2.7 依赖于高阶导数的变分问题

2.8 依赖于多元函数的变分问题

2.9 欧拉方程的不变性

第三章 泛函极值的充分条件