【CF908D】New Year and Arbitrary Arrangement

Problem

Description

给定三个数 \(k,pa,pb\) ，每次有 \(\frac{pa}{pa+pb}\) 的概率往后面添加一个 a，有 \(\frac{pb}{pa+pb}\) 的概率往后面添加一个 b ，当出现了 \(k\) 个形如 ab 的子序列（不用连续）时停止。

求最后子序列 ab 的期望个数。

答案对 \(10^9+7\) 取模。

Sample

Input 1

1 1 1

Output 1

2

Input 2

3 1 4

Output 2

370000006

Range

\(k\le1000,p_a,p_b\le10^6\)

Algorithm

\(DP\)，概率与期望

Mentality

设 \(f_{i,j}\) 表示当前有 \(i\) 个 \(a\) ，\(j\) 个子序列 \(ab\) ，在整个序列结束时的子序列 \(ab\) 的期望个数。发现第一维可能无限大，考虑倒推。

\(f_{i,j}\) 的转移有两种情况，一是在末尾加入 \(a\) ，转移至 \(f_{i+1,j}\) ，而是加入 \(b\) 转移至 \(f_{i,j+i}\) 。那么倒推的方程就很明显了：
\[ f_{i,j}=\frac{p_a}{p_a+p_b}f_{i+1,j}+\frac{p_b}{p_a+p_b}f_{i,j+1} \]
不过第一维无限大的问题还是没解决，必须考虑边界的问题。

我们发现，当 \(i+j\ge k\) 的时候，如果我们加入 \(b\) ，则整个串就会立即终止。

那么对于一个状态 \(f_{i,j},(i+j\ge k)\) 来说，设在此状态上连续加入 \(x\) 个 \(a\) 再加入一个 \(b\) ，则：
\[ f_{i,j}=\frac{p_b}{p_a+p_b}\sum_{x=0}^\infty(i+j+x)(\frac{p_a}{p_a+p_b})^x \]
这是一个等比数列，那么我们直接等比数列求和就好了。

算出来得到：
\[ f_{i,j}=i+j+\frac{p_a}{p_b} \]
直接记搜就星了。

Code

#include 
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