在上一篇文章中，介绍了拜占庭将军问题的描述、条件和结论。在传输口头消息(Oral Messages)时，少于3m+1个将军中有m个叛徒时，拜占庭将军问题是无解的。Leslie在原文[1]中, 提出了一种传输口头消息时拜占庭将军问题的一种解法。
定义
首先，为定义口头消息，拜占庭将军消息系统具有以下假设：
A1. 每个消息被正确发送。
A2. 消息的接收者知道是谁发送的消息
A3. 可以被检测到缺少消息
假设A1和A2防止叛徒干扰其他两个将军的通信，假设A3防止叛徒通过不发消息干扰一致性达成。
另外，口头协议算法要求每个将军可以与其他任意将军直接进行通信，Leslie在其原文中的第五章中描述了不需要满足这个条件的算法。
OM(m)算法
Leslie针对口头消息(Oral Messages)的情况，提出了口头协议算法OM(m)，其中m为非负。OM(m)算法是一个递归算法，用来处理在3m+1个将军中至多存在m个叛徒的情况。
默认行动：副官如果在指定时间内收不到来自司令的命令，则默认采取“撤退”行动。这是为了防止司令官为叛徒时，通过不发出命令来阻碍达成共识。
行动函数：算法假设使用majority方法作为行动函数，即当v_i的大多数为v时，则majority(v_1,...,v_{n-1})=v
注：其实对于行动函数，有两种比较容易想到的选择：
- v_i的大多数值v，如果不存在大多数采取默认行动——“撤退”；
- 如果v_i是个有序的集合，采用其中位数。
注：由于markdown编辑器不支持公式，因此符号v_i 指 v下标 i。
OM(m)算法：采用递归定义，下面分别说明OM(0)和OM(m)的内容。
当m=0时，
OM(0)算法
(1) 司令发送他的值给每个副官；
(2) 如果副官收到司令的值，使用这个值；否则，使用默认值——“撤退”。
当m>0时，
OM(m)算法
(1) 司令发送他的值给每个副官；
(2) 对于每个i，令v_i为副官i从司令接收到的值；如果没有收到值，则v_i采用默认值——“撤退”。在OM(m-1)算法中，副官i作为司令向另外n-2个副官(不包括OM(m)中的司令)发送值v_i。
(3) 对于每个i，对于每个j≠i的j，令v_i为副官i在第(2)步中从副官j接收的值；如果没有接收到值，则使用默认值——“撤退”。副官i用majority(v_1, ..., v_{n-1})作为其值。
举例：m=1, n=4
- 当一个副官是叛徒时
假设副官3是叛徒，下图针对副官2收到的消息对OM(1)进行阐述。
第一步：司令向每个副官发送他的值v给每个副官；
第二步：副官1执行OM(0)，作为司令向副官2发送v；由于副官3是叛徒，其执行OM(0)向副官2发送了不同的值，假设为x；
第三步：副官2拥有的行动值集为{v_1, v_2, v_3}={v, v, x}，采用majority函数，副官2采取的行动值为v=majority{v_1, v_2, v_3}。
同理，副官1采取的行动指令也是v，即满足拜占庭将军问题一致性条件IC1和IC2。
注：拜占庭将军问题一致性条件为：
IC1. 所有忠诚副官遵守同一命令；
IC2. 如果司令官是忠诚的，每个忠诚的副官遵守他的命令。
- 当司令为叛徒时
下图描述了当司令为叛徒，三位副官是忠诚的情况对OM(1)算法进行阐述。
第一步：司令为了阻止忠诚副官达成一致，分别向三位副官发送值{x, y, z};
第二步：每个副官从司令收到的值作为自己的值，并执行OM(0)向其他副官发送；
第三步：在第三步中，每个副官拥有的值集均为{x, y, z}，因此，副官执行行动函数majority得到的结果是一样的。
由于三位忠诚的将军采取同样的行动，满足拜占庭将军一致性条件IC1。
从m=1, n=4的例子可以看出，OM(m)算法能够处理拜占庭将军问题。在OM(m)算法中，独立执行了n-1次OM(m-1)，且每个OM(m-1)算法独立执行了n-2次OM(m-2)……这就意味着，每个副官可能独立发送多轮消息。为了避免混淆，需要区分每轮消息。最易想到的方法是，每个副官i在为第(2)步的值v_i添加前缀i。可以看出，算法OM(m-k)将被调用(n-1)...(n-k)次，发送拥有k个副官序号前缀的值。
OM(m)算法证明
本节采用归纳法证明OM(m)算法能够解决拜占庭将军问题。
引理
为了证明OM(m)算法，我们首先来证明一条引理：
对于任意的m和k，如果在多于2k+m个将军中至多存在k个叛徒，则OM(m)算法满足条件IC2。
证明： 归纳法，针对参数m进行归纳。
当m=0时，根据假设A1和OM(0)算法，易得如果司令是忠诚的，忠诚的将军按照司令的指令行动，引理是成立的。
当m>0时，假设在m-1时，引理成立，下面来证明在m时，引理也成立。
在OM(m)的第一步，司令发送值v给他的n-1个副官；
在第二步，每个忠诚的副官在n-1个副官中执行OM(m-1)算法。根据假设n>2k+m，则n-1>2k+(m-1)，所以根据引理在m-1时成立，可得，每个忠诚的将军从忠诚的将军j处获得的值为v_j=v。
在第三步中，由于叛徒最多有k个，且n-1>2k+(m-1)≥2k，所以n-1个将军中的忠诚将军为大多数。所以第三步每个忠诚的将军获得值majority(v_1, ..., v_{n-1})=v，满足条件IC2。
引理得证。
证明
下面来证明算法OM(m)能够解决拜占庭将军问题。
定理 1：对于任意m，如果存在多于3m个将军中至多有m个叛徒时，OM(m)算法满足条件IC1和IC2。
证明：针对变量m采用归纳法。
当m=0时，即没有叛徒存在，则很容易证明OM(0)满足条件IC1和IC2。
假设在m-1时，定理成立，下面证明在m时，定理也成立。
- 当司令是忠诚的
令引理 1中的k=m，即多于3m个将军中至多存在m个将军时，OM(m)满足条件IC2。又因为当司令是忠诚的时，条件IC1包含在条件IC2中，所以OM(m)也满足条件IC1。
- 当司令是叛徒时
由于至多有m个叛徒，所以至多存在m-1个副官是叛徒。因为将军的数量多于3m，所以副官的数量也多于3m-1，且3m-1>3(m-1)。根据递归假设算法OM(m-1)满足条件IC1和IC2，所以在第三步，对于每个副官j，任意两个忠诚的副官得到相同的v_j。（如果副官j是两个中的一个，运用条件IC2;否则，运用条件IC1）。
所以，任意两个忠诚的副官能获得相同的指令值集{v_1, ..., v_{n-1}}，因此，在OM(m)的第三步中，忠诚将军遵从相同的值，即majority(v_1, ..., v_{n-1})。所以，算法OM(m)满足条件IC1。
综上所述，定理 1得证。
小结
本文介绍了在将军之间直接传送口头消息(Oral Messages)时，解决拜占庭将军问题的算法OM(m)，并对其在m=1且n=4时进行了举例说明，最后对OM(m)算法进行了证明。
接下来的文章中，将对将军之间传输签名的书面消息(Signed Messages)时，解决拜占庭将军问题的算法进行阐述。
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Lamport L, Shostak R, Pease M. The Byzantine generals problem[J]. ACM Transactions on Programming Languages and Systems (TOPLAS), 1982, 4(3): 382-401. ↩