【林达华】How To Get A Solution 2013

How to get a solution?

我们所做的topic,一般有几个阶段:

Analysis:分析问题,找到问题的关键

Modeling / Formulation:对问题进行数学抽象,建立模型,或者formulate目标函数

Solving:设计出求解的算法

Experiments:实验

最近的工作都集中在Solving这部分,就说说这个吧。

求解的方法

求解问题有很多不同的方法,就我知道的来说,大概有这么几个大家族。

Heuristics

就是根据对问题的观察而设计的一些简单的方法,不一定遵循什么规范,或者有什么深刻的数学根据。这类方法往往比较简单易懂,intuition比较明显,很多时候performance也挺不错的,不见得比高深的方法差,因而在实际工程中很受欢迎,几乎应用在全部的学科。不过,好像很多朋友对这类方法颇为不屑,认为“没有技术含量”,或者叫做“没有理论深度”。

确实,有相当部分的Heuristics纯粹粗制滥造,投机取巧。不过,还有很多Heuristics虽然简单,但是切中问题要害,在长期的复杂的实际应用中经受住了考验。这些方法,表面看来可能只是再简单不过的几条四则运算公式,说不上多少理论,但是并不代表它没有深刻的理论基础。一个典型的例子是Google PageRank中使用的传导公式(简单版本),道理和公式都很简单,可是,做过类似工作的朋友可能都知道,它和代数图论以及马尔可夫随机过程有着很深的联系。又比如,Fourier Transform在刚出来的时候,仅仅是工程师的一些heuristics,后来关于它的理论已经成为了泛函分析的一个核心组成部分,也是信号处理的理论基础之一。

真正好的heuristics,它的好处肯定不是瞎懵出来,而是有内在原因的。对它们的原理的探索,不断带动理论方面的发展,甚至创造了新的理论方向。说到这里,有人可能会argue,这是“理论家们在故弄玄虚混饭吃”。Hmm,这种说法我不能认同,但是,确实存在“把工程方法胡乱进行理论化”的事实。什么才叫有价值的理论化,而不是故弄玄虚,确实值得思考,这里先不展开了。

Analytical Solution

当你把问题formulate出来后,有些情况是直接可以从问题推导出解析解的。这种情况通常存在于objective function是Linear或者Quadratic的情况。大家都很喜欢这种情况的出现,理论漂亮,实现简洁。但是,据我的观察,很多情况下,这种elegance是通过减化模型换取的。把cost写成quadratic term,把distribution假设为Gauss,很多时候都能得到这样的结果。

我不反对进行简化,也欣赏漂亮的analytical solution,如果它把问题解决得很好。但是,这里面有个问题,很多能获得简单解析解的问题已经被做过了,剩下的很多难点,未必是一个简化模型能有效解决的。简化是一种很好的方法,但是,使用起来,尤其是在实际中的应用必须慎重,要清楚了解它们可能带来的问题。

比如说,很多模型喜欢使用差的平方来衡量误差大小。但是,这很早就被指出是unrobust的,一个很大的deviation会dominate整个optimization,使得solution严重偏离方向。如果这种robustness在待解决的问题中是一个必须考虑的要素,那么用平方误差就要仔细考虑了。

Numerical Optimization

如果formulation没有解析解,那么自然的想法就是使用数值方法求解。目前大家常用的是基于Gradient/Hessian之类的local optimization的方法,有时会加上random initialization。如果objective function是convex的,那么这种方法保证收敛到global optimal,这是大家很希望的。convex problem无论在formulation还是在solution的阶段,都是很有学问的。很多问题可以formulate成convex的,但是未必都那么直接,这需要有这方面的基础。Solving一个convex problem有现成的方法,但是,如果能对问题的结构有insightful的观察,可能能利用问题本身的特点大幅度降低求解的复杂度——这往往比直接把问题扔进solver里面等答案更有意义。

除了convex optimization,还有一种数值方法应用非常广泛,叫做coordinate ascend或者alternate optimization。大概的思路是,几个有关的变量,轮流选择某个去优化,暂时固定其它的。在Machine Learning里面非常重要的Expectation-Maximization (EM算法)就属于这个大家族。另外,很多复杂的graphical model采用的variational inference也是属于此类。使用这类方法,有两个问题:一个是如果几个variable之间相互影响,变一个,其他跟着变的话,那么直接使用这种方法可能是错误的,并不能保证收敛。另外一个问题是,如果problem不是convex的话,可能没有任何保证你得到的solution和global solution有联系。很可能,你得到的解和真正的全局最优解相差十万八千里。这个没有什么通用有效的途径来解决。不过,针对具体问题的结构特点,在求解过程中施加一定的引导是有可能的。

Dynamic Programming

这个方法更多见于经典计算机算法中,不过现在越来越多在Vision和Learning见到它的影子。主要思路是把大问题分解为小问题,总结小问题的solution为大问题的solution。至于如何设计分解和综合的过程,依赖于对问题的观察和分析,并无通用的法则可循。用DP解决问题的洞察力需要逐步的积累。不少经典算法就源自于DP,比如shotest path。一个可能有用的观察是,如果问题或者模型呈现链状、树状、或者有向无环图结构的,可能很有希望能通过DP高效解决。

Local Exchange

很多建立在图上的问题,都可以通过某种局部交换来达到全局的平衡。像Belief propagation, Junction tree等等在graphical model的重要inference方法,还有tranduction model,都用到了类似的策略。这在实践中被证明为非常有效。但是,并不是随便设计的局部交换过程都是收敛的。这里面需要关注两个问题:

(1)交换过程是不是能保证某些重要的invariance不被破坏;

(2)交换过程中,是不是有一个objective,比如距离全局平衡的deviation,它在每一步都保持单调。有很多交换过程,在有向无环图中保证收敛,但是,在带环图中由于信息的重复传递可能引起不稳定,或者不能收敛到正确的解。

Monte Carlo Sampling

蒙特卡罗采样的原理非常简单,就是用样本平均,来逼近期望(这个可能需要用intractable的积分完成,没法直接算)。求平均很简单,关键在于采样过程。我们求解问题,通常是在后验分布中采样,这种分布在大部分问题中,不要说直接采样了,可能连解析形式都没法给出。如果采样问题有效解决了,基本上我们研究的大部分问题其实都可以通过采样完成。

由于直接采样往往非常困难,于是就产生了其它的方法,间接做这个事情。一种想法就是,既然p(x)不好直接采,我找一个比较容易采样的q(x)来逼近p(x),然后给从q(x)采出的每个样本加一个weight,p(x) / q(x)。这在理论上被严格证明是对的——这种方法叫做Importance Sampling。这里的问题在于,如果q(x)和p(x)不太接近,那么采样效率非常低下,如果在一个高维空间,可能采1000年都达不到要求。可是,要得到一个approximate很好的q(x)本身不比直接从p(x)采样来得容易。

还有一种聪明一点的方法,叫sequential importance sampling。在这里面q(x),不是一蹴而就建立起来的,而是每个样本先采一部分,然后根据那部分,确定下一部分的proposal distribution,继续采,也就是说q(x)和样本都是dynamically built up。这个方法在vision里面一个非常著名的应用是用于tracking,相应发展出来的方法论叫做particle filtering。

另外一大类重要的采样方法,叫Markov Chain Monte Carlo(MCMC)。这个的想法是,设计一个马尔科夫链,让它的平衡分布恰好是p(x),那么等它平衡时开始采。以前我们做随机过程作业是已知一个markov chain,求equilibrium distribution,设计MCMC就是反过来了。最重要的MCMC方法莫过于Metropolis-Hastings Algorithm和Gibbs Sampling,前者常被用于设计在solution space的随机游走(Random walk),后者则是conditional sampling的基础方法。

可是Markov过程怎么转移呢。最简单的Random Walk结合acceptance rate之后理论上是对的。可是,让sampler随便乱走,猴年马月才能把solution space走一遍阿。于是,有人提出结合一个solution space的局部信息来引导它往有用的方向走。一个重要的方法叫做Hybric Monte Carlo(HMC),想法就是把它模拟成一个物理场,把要sample的分布视为波尔兹曼分布后获得物理场的势能,通过哈密顿动力学模型(其实就是牛顿力学的推广)来驱动sampler。可是,如果问题更为复杂呢,比如整个solution space有几个井,sample掉到某一个井可能出不来了。为了解决这个问题,一种重要的方法叫Tempering,就是开始给分子充分加热,让它获得足够的动能能在各个井之间来回跳,然后逐步冷却,从而能捕捉到多个势井。

Monte Carlo方法较早的时候主要用于统计物理,目前已经广泛应用于计算机,生物,化学,地质学,经济学,社会学等等的研究。这是目前所知道的用于求解复杂的真实模型的最有效的方法。它的核心,就是猜——你直接解不出来,只好猜了,呵呵。但是,怎样才能猜得准,则是大有学问——几十年来各个领域关于Monte Carlo研究的工作汗牛充栋,有很多进展,但是还有很长的路要走。

和这里很多留学生一样,我一向潜心于自己的学习和研究。可是最近,我们的世界并不宁静,我认识的不只一个在美国的朋友受到了不太友好的挑衅——在不知不觉中,我们可能已经身处反分裂和支持奥运的前线。我看到包括MIT CSSA在内的很多学生团体开始组织起来支持自己的祖国。我没有具体帮上什么,但是,我对所有在用自己的行动捍卫国家荣誉的同胞怀有最深的敬意。我也希望,我的努力,能让外国的朋友明白中国人是值得尊敬的。

Postscript:

以下是林达华(Dahua Lin)博士的经验。很棒的一个人,想要了解更多的可以点击下面这张图片:

【林达华】How To Get A Solution 2013_第1张图片

他的个人主页:http://dahua.me/

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