来源：《世界哲学》2015年第2期
导言
康德在《纯粹理性批判》开篇就谈到了算术与几何命题的先天综合特征，尤其对于几何学来说，其综合基础是作为纯粹直观形式的空间。但康德主要依赖单一的几何学经验出发研究其本质，并在相当程度上受限于这种观察，因此十九世纪射影几何、仿射几何及微分几何等新型学科的出现，不仅给数学家提供了空前丰富的观念素材，而且对康德的设想提出了严峻挑战。一个直接的矛头就是指向几何学对空间直观性的依赖：所谓的“直观”真的是几何学的本质要素吗？
自克莱因（Felix Klein）的埃尔朗根纲领提出20多年后，希尔伯特在19世纪末重新思考了传统的欧氏几何及其哲学基础，但根本上离开了康德式进路。他认为，几何学应该与魏尔施特拉斯的分析学一样有严格的基础，但需要尽可能排除质料性和直观性的因素，几何学的代数化并不是彻底的方法，空间对象的本质不能仅按照种种运动变换来分析，而要以一种新的方式回到欧几里德的道路上去，即用纯粹的、形式的公理化方法来建立几何学。这样一来，几何学乃至整个数学的意义就发生了变化，在最基本的层次上，数学活动的核心特征不再是从某些直观中被给予的对象出发建立体系，也并非笼统地用一种模式整合各类对象，而是从一开始就仅存在于某种抽象的关系之上。总之，希尔伯特认为这种纯粹的关系或结构本身才是数学的真正基础，而这些思想的明确表述出现在《几何基础》的第一版中。
弗雷格在看完《几何基础》之后，立即对这种新的公理化思想提出了自己的批评。在与希尔伯特通信中，他提出了三项质疑：首先是公理化方法的实质，其次是定义与公理的界限问题，最后是关于系统一致性的证明。这三个方面互相关联，且处于层进的关系中，是双方争论的焦点，而公理化思想最终是否有效可行就取决于对这些问题的理解。
一
弗雷格认为，公理化方法要面对的首要问题就是确定公理本身的性质是什么。按照一种保守的理解，体系的公理是其他命题的源头，它们是演绎的起点，同时也是命题为真的最终保证。为了达到辩护的结果，把某些命题论证为真的，我们就总要从一些基本的前提出发，而这些前提本身的真理性不能来自于论证或推理。问题在于，作为演绎起点的原始命题一方面必须是“真的”，另一方面必须是“不可证明”的。那么它们的真来自哪里呢？不论是弗雷格还是希尔伯特都用康德的方式回答这个问题，认为几何学命题的原始真理应当奠基于空间直观上。[1]在涉及到公理体系的基础时，弗雷格同样认为，这些公理不能随便选来，而是应当表明自身的真理性是显然的。那么这种“显然”从哪来呢？显然它只能来自我们对几何对象的直观，而这一点实际上包含着更深刻的问题。
希尔伯特在一定程度上继承了克莱因的思想，因为几何学的统一化、甚至数学的统一化，都是双方的目标。克莱因让几何学统一在群论下的观点也并非是简单地把几何代数化，而是根本上提出了数学领域各学科之间统一性和综合性的思想，只不过这种思想并非建立在柏林学派对于数学基础的严格要求之上，而是直接来自数学实践。以克莱因为代表的非公理化进路与希尔伯特倡导的公理化进路有着基本区别，但是否公理化只是两条路线的表面差异，希尔伯特还在更深的层面上洞察到了克莱因的问题。两位数学家都承认直观基础是必不可少的，但问题在于这是一种什么样的直观。在群论观点下，空间事物本身的几何性质统一于代数方法下的基本条件是采取一种运动变换的观点寻找不变量。对象仅在认识者方面表现为处于时间直观中的现象。希尔伯特恰恰在这个意义上反对克莱因，因为那种观点下的时间直观是不可避免的引入因素，但几何学在本质上应当只是关于事物的空间性，是一种仅仅和位置、形态相关的存在，变化和运动在此毫无关联。换言之，空间直观是几何学唯一的本质，尽管几何对象的被给予总是需要奠基于时间意识中，但就其自身的构形来讲，它们作为理想化的事物（理想的点线面）具有超时间性，时间直观不属于对象本质。
《几何基础》中的看法甚至更进一步，它已经离开了对直观性的关注而彻底转向纯粹形式的东西。虽然他未否认空间直观的奠基作用，但强调几何学的核心要素或者说公理化方法的实质在于纯粹形式上的系统统一性。即便是欧氏几何的公理，尽管最初形成是由于对经验事物的直观与观念化，但在新观点下，甚至这一步也失去了本质的地位。一切具体的东西、带有经验性质料的表述，都不再是关键。
弗雷格原则上同意希尔伯特对直观的看法，但反对将之排除出公理的性质。弗雷格认为谈论纯粹形式上的系统统一是空洞的，而希尔伯特在公理中表述的几何对象缺乏定义，或者说它们根本不是什么有意义的东西。在1899年12月27日给希尔伯特的信中，弗雷格写道：“‘点’、‘线’、‘面’的含义都没有给出，而是被假定为事先知道的东西……我们一开始在欧氏几何的意义上理解‘点’，但接下来你又把数对也叫作‘点’……公理被迫负载了原本应当属于定义的负担。”[2]弗雷格发现通常的理解在这里完全失效了，因为一旦用符号去替换它就会发现这根本不影响公理的表达。[3]如此一来，公理中的词项就成了无意义的东西，命题究竟在讲什么也就成了个谜。希尔伯特在两天之后的回信中对此表明了态度：“我并不假定任何事先知道的东西，我把我的解释视作对那些概念的定义……如果人们追求一个‘点’的其他定义，那么……他就在找永远找不到的东西，因为本来就什么都没有。”[4]
二
由此，弗雷格对希尔伯特的第二点指责——即后者混淆了定义与公理——就与一开始提出的质疑结合起来了，因为假如一个命题中的词汇没有得到定义，那么这个命题就没有表达任何思想，也不会有真值，如此一来公理化方法的目标就丝毫不明确。按照弗雷格在那封信中的理解，我们总是先用定义的方式赋予符号、表达式或语词以意义，然后再“把定义变成一个自明的命题，让它可以像公理一样来使用”。[5]公理绝对不能是无真值的命题，毋宁说它应当是一切演绎得到的真命题的先决条件。这种缺乏实质的公理化根本不能成立，更不用说拿公理去定义概念了。
但希尔伯特想的完全是另一回事，他认为词语的原始含义非但不成为问题，而且含义本身也是非本质的东西，原则上“必定总是可以用‘桌子’、‘椅子’、‘啤酒杯’来代替‘点’、‘直线’和‘平面’”。[6]公理化方法对于几何学的意义已经超越了单纯的语义层面而转向一种语形结构自身的逻辑性，借此实际上改变了几何学的原初意义，从空间中的理想对象转向了更抽象更高阶的关系性本身。数学对象的意义不再是自下而上地从直观中被统觉的对象过渡到观念客体，而是自上而下地直接从一种更普遍的观点而特殊化，直观的意义已经不再作为保真条件，逻辑性才是唯一的重点。正如希尔伯特的助手贝尔奈斯（Paul Bernays）所言：“一个公理体系不再被看作关于一个主题事物的陈述系统，而是作为一种关系结构的条件的体系……逻辑的依赖性从其自身出发得到研究，而在推理中，我们必须仅仅依赖符号的如下性质，亦即它们要么得到了明确的假定，要么是逻辑地从假设与公理中得出来的。”[7]
进一步看，希尔伯特似乎完全没有考虑弗雷格的涵义与指称理论，还正面驳斥了弗雷格要求从词语“定义”出发规定公理命题的“思想”的传统进路。前面已经讲过，按照弗雷格的想法，所谓“公理”就必须是通过有良好定义的（well-defined）词语构建起来的真命题，命题的真取决于对词语意义和词间关系的理解，而现在希尔伯特完全将基础层面的东西抽空，那么命题也就不可能有任何真假可言。可是，希尔伯特虽然反对用更原始的意义来填充公理词项的内容，却仍然认为词项可以定义，而且定义恰恰是通过命题的语法关系来赋予的。举例来说，正如弗雷格也注意到的那样，三个点A、B、C在一条直线上的话，那么所谓“B在A和C之间”其实没有任何直观含义的假象，一旦拨去伪装，这句话完全就可以写成“B pat A nam C”，而希尔伯特的顺序公理即公理II 1[8]就可以写成“如果B pat A nam C，那么B pat C nam A”。这两个关联词pat和nam完全不需要与日常含义相比，它们可以仅仅表达一种抽象甚至空洞的连接关系。[9]但是这种关系并非可有可无，因为词项A、B、C的含义已经在这种关系中得到了确定，尽管关联词完全是形式的，尚未被进一步解释，但它们指示了词项及命题的形式本质。然而对弗雷格来讲，此关系绝没有表达任何真理，也不能指望它会对词项说出些什么，这种所谓的“公理”并不是伪命题[10]，因为它本身的指涉部分并没有涵义与指称，也没有留出空位，而只是彻头彻尾的伪公理。希尔伯特所讲的“关系”原本应当是一个多元函数，其变元是专名对象，但现在这种伪公理把概念放在其下，自身表达出了关于这种概念的概念，或者说一个第二层次的（second level）概念。因此这里就出现了两个基本的问题：首先是数学公理按其性质被迫涉及到二阶的情况，它对于一阶的概念（即关系）有所断言，因而自身已经不是平凡的数学命题了。其次，它所表达的真理仍然必须通过对一阶的关系的考察而得到确定，而这种确定的可能性在希尔伯特的公理中付诸阙如，因为后者据说要反过来用更高层次的关系去定义下级概念，那么命题的真值当然是悬而未决的。
就此点争论而言，两人的分歧主要在公理与定义二者对真值的关系上：弗雷格认为只能从基本的定义与真值确定的角度出发才能谈得上有“公理”，但希尔伯特从一开始就反对把传统的真理观套用在公理化方法中，因为经典意义上的“公理”和“公理化”视角下的系统观念是完全不同的，对公理化方法来讲，比真理观更重要的是合法性的保证。尽管合法性显然是传统真理论的题中之义，但当前的问题是，数学意义上的真理是否只需要涉及一个较小的区域，或者说要求一种不那么强的保证。这就需要在弗雷格对系统一致性证明的批评中继续讨论了。
三
对于第三个问题，也就是希尔伯特要求的命题真与系统一致性的对应关系，在弗雷格于1899年底写给希尔伯特的那封信里就已经表示，他“把公理看作不是通过证明得来的真命题……而由公理的真可以推出它们互相之间不矛盾。因此根本不需要进一步的证明”。[11]前面说过，弗雷格认为几何学公理的真值由最初的空间直观保证，而希尔伯特虽然在最基本的意义上同意直观对于几何学的贡献，但涉及到公理的核心特点时，他恰恰认为直观并不是第一要义。并非所有从直观经验中得来的真命题都可以称为公理，也不是说自身的真不需要逻辑证明的命题就是公理，而是只有那些处于体系中并成为其他命题的逻辑基础的原初命题才是公理。
换言之，这个问题的焦点集中在命题的真值究竟是建立在语义学上还是语法学上，是单独的语义先行还是整体的语法结构先行。弗雷格的立场很清楚：公理按其语义构造方式来说就是先天为真的，并且立即可以得出体系本身的一致性。希尔伯特则认为，不能像弗雷格那样去考虑传统的语义学对于单个命题之真的保证，而应当从语法学的角度谈论处于系统整体之中的公理意义。这首先体现在他对数学系统性的强调：即这种系统一致性才是命题真值的唯一保证，假如一个命题不能在系统内证明为假（即它的否命题得证），而且也不与系统内任何命题矛盾，那它就是“真”的。希尔伯特认为数学命题不同于一般命题，前者的意义只有在公理化以后才完全呈现出来，原先的直观也许奠基了公理命题的可理解性，但这是在语义层面看来才是如此，就语法层面而论，命题中对象本身的意义不需要牵涉形式之外的任何解释。公理首先是形式的确定性，其次才谈得上命题在各种解释模型中的真假，语法的一致性与完备性要先行于语义上的真值和一致性问题。
从更深的层次来讲，对于语义和语法的各执一词实际上反映了弗雷格和希尔伯特对数学命题之可理解性的两种截然不同的态度。什么叫“理解”数学命题？在弗雷格看来，无论什么命题，要对它作出整体的理解或者说使它有意义，都必须对词项先行作出赋义，没有赋义就没有意义。但希尔伯特认为命题的意义不只有一种理解方式，因为命题并不只有一种类型。我们可以说命题具有某种意义，但这并不必然意味着只有一种方式来确定意义，更不要求必须以一种已知的素朴的方式去先行赋义。对命题意义之理解的传统做法不适用于数学命题，因为后者是一种本质上只能先存在于体系当中而后才具有意义的特殊事物。
进而言之，既然弗雷格一开始就把普通命题与数学命题等而视之，从既有的真命题出发建立数学系统，因此必然不会遇到数学对象的存在性问题和系统的一致性问题。按弗雷格的想法，希尔伯特对系统一致性的讨论是多此一举：我们已经知道公理是真的了，那一致性还能有什么问题？但希尔伯特反其道而行之，他的体系中除了公理之“真”以外还附加了数学对象的“存在”之论断，这个观点揭示了更深刻的哲学分歧，我们或可以称之为形式主义和数学柏拉图主义之间的分歧。
由于论题所限，本文无法深入这个话题，但可以说，十九世纪后半叶许多大数学家都相信数学对象与数学概念都应该以严格的方式给出定义，并分析地建立起整套理论。然而这些人对于数学的对象究竟是什么东西，它们是否存在以及如何存在，有着不同看法。希尔伯特作为继承分析学派精神的人固然也认为数学概念应当得到充分定义，数学应当与对象区域有明确的关系，但这并不必然导致人们需要赞同某种柏拉图主义。克莱因纲领的成功经验告诉我们数学研究有其独特的整体视角，在与特定区域关联时，人们完全可以独立把握诸区域的共同本质而不用首先关心每个区域对象自身特有的存在方式。因此形式主义的研究分离了数学对象的本体论与数学研究的方法论，也否定了传统上本体论先行的做法，甚至反过来让数学方法来决定其对象的存在性质。可是一切方法都有两面性，当希尔伯特反对弗雷格等人从传统哲学出发的观点，强调其公理化的革命性特点时，也意味着数学形式已经远离数学知识的产生与认识问题了，高度形式化的数学真的可以与理解无关吗？也许胡塞尔的看法会给提供某些启发。
四
希尔伯特一方面认为几何学终究还是关于空间直观的逻辑分析，[12]另一方面又始终坚持公理化的优点就是保持几何学的逻辑性和纯粹性，避免一切直观内容的混杂，[13]因此他对公理化几何与空间直观的关系究竟持什么态度还需要更详细的说明，可惜他本人没有给出专题论述。而对我们来讲，这里更重要的问题或许是：一般而言，几何与直观经验的关系到底是什么。胡塞尔虽然在公理化问题上支持希尔伯特的观点，[14]但他也看出了公理化几何与经典几何的本质差异，也就是说公理化的洞见并非集中在对几何关系的直观上，而是在特殊的超几何的关系上，更关注普遍的、“范畴的”东西。[15]即使我们最终总是在谈论某种空间性，这里也仍然存在多义的空间概念，比如直观的空间并非几何学的空间，后者作为范畴对象需要一种更原初的被给予物来奠基，同时还要说明如何奠基。[16]毫无疑问，几何学的这种奠基性质不仅为现象学所重视，同时也是弗雷格与希尔伯特都注意到的情形，只是因为某些原因两人都没有继续推进这个研究。但反过来讲，正因为他们对奠基性问题的分析不够彻底，才导致了彼此在对数学命题的理解问题上呈现出一种特有的“二律背反”。
简言之，弗雷格看到了命题具有意义的条件在于对其词项内容的先行赋义，这一点正如胡塞尔在《逻辑研究》第二卷一开始表明的那样，赋义行为是含义表达的基本条件。但前者理所当然地认为这种赋义就是语义层面上的关系，从已知的含义到数学对象的定义之间有一条直接的道路，是逻辑的、客观的。胡塞尔的批评则基于如下思路：已知的、素朴的意义对于建构观念对象的确具有基本的作用，但这种作用是以作为素材的奠基方式实现的，观念对象的产生根本上依赖于一种意向性和范畴化的成就，而不是单纯的逻辑定义，赋义活动不能简化为语义的东西。而希尔伯特看到了数学命题的特殊性，即一种系统和语法先行的特征，但之所以无法说服弗雷格，是因为前者的强调在客观上弱化了意义起源的事实方面，即便数学对象的意义依赖于系统性，但毕竟仍具有一层和现实连接的关系。对于这层关系的重视恰恰是构造数学对象之可理解性的关键。虽然希尔伯特毕竟承认经验中的点、线、面是直观起源，可是他完全把这些直观起源作为数学产生的非本质要素，当一种偶然的事实处理。而在现象学看来，这些经验恰恰不是什么权宜之计或可有可无的东西，而是极为本质性的奠基因素，对几何学甚至整个数学的意义分析只能从这个角度出发。
胡塞尔发现直观内容的给予和形式科学的建立之间存在着一种基本距离，这并不是埃尔朗根纲领或公理化思想独有的，因为现代的数学采取的新视角无非是一种更彻底更抽象的步骤，而早在这种方法实行之前，古希腊人就从大地测量术（geo-metria）走到了欧几里德的科学，这已让几何有了最根本的东西。要说明这点，就必须阐明两个基本问题：首先是我们如何可能把几何对象把握为一种先天（a priori）的、本质的东西，它虽然的确通过更原始的偶然的经验素材构成，但其自身具有一种必然且确定的性质；其次是为何最初的几何学是这种结构而不是别的样子。这两个问题相当于在追问几何学在主体意识中的发生条件，也就是它的必要条件与充分条件。简言之，胡塞尔的思路大致如下：
通过对日常经验中的空间客体作构造分析，我们发现平时所熟悉的事物从一开始就已经包含了一种几何态度。一些大型客体诸如房子、山川、海洋等等，本质上不同于小物体，因为它们都不是直接显现给我们的东西，无法在一个场景中得到统觉，而是必须通过一系列连续的直观综合活动组成。这些综合活动最终得以统一依赖于一种先行的同一性意识，也就是将需要综合的客体观念本身作为直观空间中的界限，把在综合活动中的部分意识现象认定为属于同一个事物整体。因此直观的部分空间性本身就包含有对象的观念性意义（对象作为空间形体）和逻辑意义（部分与整体的关联），从而它们的整体，亦即可经验到的全部空间，才可能被观念化为一种单一的空间总体。从直观空间到几何空间正是观念化活动的彻底结果，正如希尔伯特所言，此时的直观部分需要完全让位于一种只能单纯理解但已经无法直观地被给予的内容了。我们在部分空间直观中得到的点、线、面的概念属于奠基于经验性直观上的范畴化活动的结果，但这种范畴化或观念化最初并不具有几何学意义。真正的几何学观念化（Ideation）是一种更高级的理想化（Idealization）过程，[17]它所确定的是一个比普通观念更抽象也更精确的本质，而理想化对象就是这种本质的化身。此外，在经验世界中我们所遭遇的部分直观客体中间还包含着基本对象之间的构形关系（morphological relations），对这种关系的理想化属于另一种类型，它奠定了我们将几何对象结合在逻辑关系中的基础。两种理想化合在一起才提供了几何学公理基本要素。
除了对必要条件的解释外，几何学发生的充分条件也需要说明，即它为何是如此而非别的形态。但这问题不能只从逻辑的角度回答，而需借助几何学发展的历史来看。几何观念的每一步发展都由前一次观念所奠基，比如从大地测量到三维欧氏几何再到非欧几何、拓扑学等等，任何一次发展除了对几何基础的认识改变之外，还同时受到它所关注的方向的限制。就欧氏几何来讲，它奠定在对生活世界的第一次理想化之上，因此人类的基本经验使得几何学必定要以与直观最接近的方式实现出来。而在平行公理的疑难有所突破时，不同几何学之间的差异也必定只体现在对这一公理的态度上。当我们关注的焦点转移到刚体运动中的不变量或守恒关系时，仿射几何、射影几何以及几何与抽象代数的结合就是顺理成章的结果了。从本质学（Eidetik）的观点看，几何学每次有所突破的同时也都蕴含着突破的限度和方向所受到的必然限制，高观点下扩展几何学类型时，它们必定呈现为某些特定形态而不是其他样子。直到希尔伯特的公理化，理想化方法达到了其顶点，因为一切质料性的语义内容都被抽象掉，数学的形式本质或结构本质成为其唯一特征，而最终的可理解性也不是传统意义上的了，特定区域的数学需要上升为更高阶的理论，新的研究需要具备最高的普遍性，它包含了低阶理论本身的全部可能性。
五
胡塞尔在1900年前后对公理化问题的研究结果构成了他流形论（Mannigfaltigkeitslehre）思想的主干。虽然关于数学哲学的基本问题上他倾向于希尔伯特的进路，但对于逻辑学和本质学的深入思考使得他在整个哲学领域推进并扩展了这种思想。在《逻辑研究》第一卷中，胡塞尔明确提出了纯粹逻辑学的三步计划：首先是纯粹概念的完整理论，其次要研究概念之间关系的规律并发展成一门系统的理论，而最终的大全形态是关于理论的理论，它“探讨理论所具有的关系规律的本质类型”。[18]胡塞尔在十九世纪末意识到几何中的“流形”（Mannigfaltigkeit）概念对自己的逻辑学与数学基础研究也有重大意义，将其引入现象学和数学哲学的计划中，并把关于一切可能的理论全体所作的分析称为“流形论”。。他认为，逻辑学及数学的对象根本上是某种语法形式，其任务就是考察这些纯形式之间的结构关系。胡塞尔的“流形论”有两种基本含义：作为纲领的流形论应当涵盖所有本体论，刻划一切可能本质之间的结构关系；而作为某种局部理论形态的流形论则是考察从对象中直观到的诸本质之间的高阶关系，这种关系不仅限定了事态的所有可能情形，而且也规定着这些事态到底是什么，因为它是关于对象之所是的本质学。[19]这两种含义在希尔伯特的公理化方法中都能找到，如在几何学这种局部理论上，新视角并不关注几何元素自身的空间属性，而是关心一些纯形式关系，不是从已定义的对象出发建立关系，而是用本质关系去规定对象的区域与内涵。只不过这种规定并不是直接指出来的，因为对象没有在指示的（ostensive）意义上得到确定，毋宁说一开始被确定的就是由无内涵概念构成的整个类。胡塞尔虽然认为流形论与公理化方法之间有明显的共同点，但对于哲学家来讲，更重要的是去论证各种数学观念形态之间的生成关系，这样才能为新方法找到合理辩护。[20]
在早年的算术哲学研究中，胡塞尔就把数的概念放在代数学思想的生成背景中看待，他看到算术的发展有三个基本的步骤。一开始的算术只是一种技术操作，大家只管摆弄具体的数字而不去关心更多的东西。后来通过一种最初的理想化，人们逐渐有了普遍的数的观念，把自然数作为一个类，而将具体数字置于其下，并给出了数系的一些法则。到了近代，更一般的算术又以字母代数的方法反映了对关系意义的洞见，从而以诸如a+b=b+a的形式把算式中最本质的东西表达出来，此时无论是具体的数系还是规则都不再重要，核心问题是如何用纯形式的方法来表示一般对象之间的关系结构——这正是抽象代数的根本思想。胡塞尔从本质角度刻划的算术观念史也适用于其他数学分支乃至整个数学，尤其当公理化或流形论思想成为主导路线时，这就更明显。最初的数学局限在一种确定的对象性里，这些对象被认为是绝对实在的、超越于我们之外的东西，这就是数学柏拉图主义的立场。但在所谓的“游戏规则的数学”观点下，数学对象被剥去了柏拉图式的素朴本体论意味。算术的本质是一种有规则的游戏运算，就和下棋一样，棋盘与棋子的一切物理性质和文化意味都不重要，它们唯一的存在方式就是去符合规则赋予它们的游戏含义。不过正是在这样的游戏观点下，胡塞尔提出了“理论形式”（Theorienform）的观点，它不是关于事实对象的理论，而是关于各种理论可能形态的元理论，通过一系列元描述来规定所要谈论的各种理论无论如何都具有的共同本质。在《形式逻辑与先验逻辑》中，胡塞尔把最初的分析学视为某种初步的流形论，因为它也致力于实数系的公理化。这种“数学分析本身，或者说一种严格的流形论”，[21]是对运算性质的游戏数学来讲更高的观点，它可以导向一种更全面的流形论或理论形式，即通过各种公理形式来定义流形的形式。
数学的游戏观点与流形观点互补，它们从分别对数学对象的性质和数学活动自身的性质作了说明。流形思想表明数学研究作为理想化与直观活动的结合是如何一步步发展起来的，它在人的心智和意向性当中如何生根发芽；[22]而游戏思想的确立使得胡塞尔对于数学对象的存在意义作出了和希尔伯特类似的断言——这里需要立即补充的是，胡塞尔虽然认为数学公理只要不矛盾，推出的东西就是存在的，但这种东西也仅仅在公理体系中或流形论的观点下才“存在”，[23]我们既不能把这种特定的存在概念外推向一般观念对象如颜色、空间或灵魂、上帝等等，也不能认为这种存在的意义不需要来源或构造就直接可以理解。存在意义的确有其发生过程，其在当下的隐而不显就是意义构成物的积淀状态（sedimentation），它总是已经存在于新观念的语言之中，即便这些语言已经不再指称原来东西了。意义的沉淀与复活表现在几何学领域，“就是用语言表达出来的几何学构成物的自明性的改变。”[24]这种积淀证明了我们的观念科学或自然科学与本原的生活世界有基本的关联：理想化的过程总是在不断消除其与生活世界的联系，一方面用普遍的理想化的结构统治我们的经验世界内诸事物，另一方面始终声称绝对的、本质的存在只是那个高度抽象的结构；可是，普遍的结构与流形论的思想本身都有其意向性基础，在理想化的进程中，原始意义没有也不可能被彻底抹消，我们越是贴近事情本身的发展过程，就越是能看到，为何在排除直观性与经验性以后我们还能理解那种理想化的科学对象。因此，胡塞尔所选择的路线虽然更偏向希尔伯特，甚至在许多地方与哥廷根学派高度一致，但对几何学意义的现象学考察也确证了弗雷格当初的质疑很有道理，后者洞察到了公理化方法背后的哲学疑难。
[1] Gottlob Frege, Philosophicaland Mathematical Correspondence. Basil Blackwell,Oxford, 1980. p.37.
[2] Ibid. p.35.
[3] 在1914年的手稿里他也详细地说明了这一点，参见弗雷格，《弗雷格哲学论著选辑》，王路译，北京：商务印书馆，2006，第313-315页。
[4] Gottlob Frege, Philosophicaland Mathematical Correspondence. p.39.
[5] Ibid.p.36.
[6] Stewart Shapiro, “Categories, Structures, and the Frege-HilbertControversy”, in Logicism, Intuitionism,and Formalism, ed. by Stem Lindström et al., Springer,Dordrecht, 2009, p.437.
[7] Ibid.
[8] 它的原始表述参见希尔伯特，《几何基础》，江泽涵，朱鼎勋译，北京：科学出版社，1987，第3页。
[9] 弗雷格，《弗雷格哲学论著选辑》，王路译，北京：商务印书馆，2006，第314页。
[10] 关于Frege意义上的命题与伪命题之异同的一个清晰说明，参见GottlobFrege, On the Foundations of Geometry andFormal Theories of Arithmetic, Yale University Press, London, 1971,pp.xxxiv-xxxvi.
[11] Gottlob Frege, Philosophicaland Mathematical Correspondence. p.37. 弗雷格似乎从未改变这种观点，见弗雷格，《弗雷格哲学论著选辑》，王路译，北京：商务印书馆，2006，第252页。
[12] Ibid.p.106.
[13] Rene Jagnow, “Edmund Husserl on the Applicability of FormalGeometry”, in Intuition and the AxiomaticMethod, ed. by Emily Carson and Renate Huber. Springer,Dordrecht, 2006. p.67.
[14] Edmund Husserl, Philosophie derArithmetik, Husserliana Band XII, Martinus Nijhoff, Den Haag, 1970,S.444-451.
[15] Edmund Husserl, EarlyWritings in the Philosophy of Logic and Mathematics, Collected Works,Volume V, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1994, p.486.
[16] 本文因篇幅所限不能深入这个论题。
[17] 胡塞尔，《逻辑研究》（第二卷第一部分），倪梁康译，上海：上海译文出版社，2006年，第276页。
[18] 胡塞尔，《逻辑研究（第一卷）》，倪梁康译，上海：上海译文出版社，1994年，第211-219页。
[19] 胡塞尔有时也扩展“流形”的内涵，将之应用于在流变中保持统一的质料对象上。
[20] Edmund Husserl, Formale undTranszendentale Logik, Husserliana Band XVII, Martinus Nijhoff, 1974, S.82-85. 关于两人之间对形式系统完备性概念的论述比较，参见Stefania Centrone, Logic andPhilosophy of Mathematics in the Early Husserl, Springer, Dordrecht, 2010,pp. 176-179. 需要注意的是，胡塞尔本人并不同意将几何学变成纯形式的语法学或形式本体论，因为几何对象的内涵是空间对象，因此其科学只能是一种质料本体论。
[21] Edmund Husserl, Formale undTranszendentale Logik. S.104.
[22] 需要指出，哥德尔也认为胡塞尔的这个观点就是数学中的实践经验所表明的情况。参见王浩，《逻辑之旅》，邢滔滔等译，杭州：浙江大学出版社2009年版，第七章及以下。
[23] 关于胡塞尔对数学对象存在问题的流形论理解，参见Edmund Husserl, Philosophieder Arithmetik. S. 430-444.
[24]胡塞尔，《欧洲科学危机与超越论的现象学》，第437页。