层次分析法(详解)

注：文章内容主要参阅 《matlab数学建模算法实例与分析》，部分图片来源于WIKI

文章分为2部分：

1第一部分以通俗的方式简述一下层次分析法的基本步骤和思想

2第二部分介绍一下我们队伍数学建模过程中，对层次分析法的应用，中间有些地方做了不严谨的推理，例如关于一致性的检验，如有人发现不正确，希望可以指正

第一部分：

层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称 AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。

人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 

运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： 
（i ）建立递阶层次结构模型； 
（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； 
（iii ）层次单排序及一致性检验； 
（iv ）层次总排序及一致性检验。 

 

这四个步骤中，前两个步骤最容易理解，后两个步骤需要一点时间理解

 

首先从层次结构模型说起

层次分析法是用来根据多种准则，或是说因素从候选方案中选出最优的一种数学方法

最顶层是我们的目标，比如说选leader，选工作，选旅游目的地

中间层是判断候选方物或人优劣的因素或标准

选工作时有：发展前途  ，待遇 ，工作环境等

选leader时有：年龄，经验，教育背景，魅力

 

在分层以后，为了选出最优候选

给目标层分配值1.000

然后将这一值作为权重，分配给不同因素，对应因素的权重大小代表该因素在整个选择过程中的重要性程度

然后对于候选方案，每一个标准再将其权重值分配给所有的候选方案，每一方案获得权重值，来源于不同因素分得的权重值的和

 

如下图：(alternative1)0.333=0.250/4(criterion1)+0.250/4(criterion2)+0.250/4(criterion3)+0.250/4(criterion4)

最终获得的各个方案的的权重值的和依然为1

例如选工作时，待遇所占的比重为0.8， 有工作1,2,3候选，     如果工作1的待遇最高，工作2的待遇次之，工作3最差，则可将0.8的值按0.4,0.3，0.1分给工作1,2,3,

这不就是一个简单的权重打分的过程吗？为什么还要层次分析呢。这里就有两个关键问题：

1每个准则（因素）权重具体应该分配多少

2每一个候选方案在每一个因素下又应该获得多少权重

 

这里便进入层次分析法的第二个步骤，也是层次分析法的一个精华（构造比较矩阵（判断矩阵）comparison matrix）：

 

首先解决第一个问题：每个准则（因素）权重具体应该分配多少？

如果直接要给各个因素分配权重比较困难，在不同因素之间两两比较其重要程度是相对容易的

 

现在将不同因素两两作比获得的值aij  填入到矩阵的 i 行 j 列的位置，则构造了所谓的比较矩阵，对角线上都是1， 因为是自己和自己比

这个矩阵容易获得，我们如何从这一矩阵获得对应的权重分配呢

这里便出现了一个比较高级的概念，正互反矩阵和一致性矩阵

首先正互反矩阵的定义是：

 

我们目前构造出的矩阵很明显就是正互反矩阵

 

而一致性矩阵的定义是：

这里我们构造出的矩阵就不一定满足一致性，比如我们做因素1：因素2= 4：1  因素2：因素3=2:1    因素1：因素3=6:1（如果满足一致性就应该是8:1），我们就是因为难以确定各因素比例分配才做两两比较的，如果认为判断中就能保证一致性，就直接给出权重分配了

 

到了关键部分，一致性矩阵有一个性质可以算出不同因素的比例

 

这里的w就是我们想要知道的权重，所以通过 求比较矩阵的最大特征值所对应的特征向量，就可以获得不同因素的权重，归一化一下（每个权重除以权重和作为自己的值，最终总和为1）就更便于使用了。（实际上写这篇博客就是因为，重新翻了线代的书才好不容易理解这里的，就想记录下来）

 

这里补充一点线性代数的知识：

    n阶矩阵有n个特征值，每个特征值对应一个n维特征列向量，特征值和特征向量的计算方法这里就省略了，反正书中的程序是直接用matlab 的eig函数求的

 

这里不能忘了，我们给出的比较矩阵一般是不满足一致性的，但是我们还是把它当做一致矩阵来处理，也可以获得一组权重，但是这组权重能不能被接受，需要进一步考量

例如在判断因素1,2,3重要性时，可以存在一些差异，但是不能太大，1比2重要，2比3 重要，1和3比时却成了3比1重要，这显然不能被接受

 

于是引入了一致性检验：

          一致性的检验是通过计算一致性比例CR 来进行的

          

          当 10 . 0 < CR 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。 

 

CI的值由判断矩阵计算获得，RI的值查表获得，具体的计算公式这里就略去，重点是理解为什么要做一致性检验

 

 

接下来解决第二个问题：每一个候选方案在每一个因素下又应该获得多少权重

 

这里则需要将不同候选方案，在不同因素下分别比较，具体的比较方法，还是使用比较矩阵，只不过之前准则层的比较矩阵比较的对象是因素，这里比较的是某一因素下，候选方案的优劣， n个因素则需构造出来n个比较矩阵

例如在工作环境的因素下，工作1与工作2相比为 ：4:2，工作2与工作3=2:1  工作1：工作3=6：1.，这样构造一个矩阵，再用之前的一致性矩阵的方法就可以求出一个权重，然后相对应因素（这里是工作环境）所拥有的权值就可以按这个权重比例分配给不同候选物或人。

 

其他因素同理

 

 

至此两个问题就都得到了解决

最终将每个候选物、人从不同因素获得的权值求和，就可以得到不同候选对于目标层的权值大小，继而可以根据值的大小，来选出优劣

 

对于第一部分的总结：

         通过对层次分析法的基本了解，不难发现层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为
科学管理和决策提供了较有说服力的依据，但很明显的缺点是，整个分析过程似乎都是依赖于人的主观判断思维，一来不够客观，二来两两比较全部人为完成，还是非常耗费精力的，尤其是当候选方案比较多的时候。

 

 

文章的第二部分：

层次分析法的变形应用（也可能本来就是这样用的，只不过参考书上没这样说，外语
论文没细看）解决最优教练选择问题

 

目标：选最优教练

 

准则：  职业生涯所带队伍的胜率      

职业生涯所带队伍的胜场            

从教时长（年）          

职业生涯所带队伍获奖状况（化成分数）

  

候选：  众多教练

 

准则层的比较矩阵好构造 ，作6次两两比较，就可以获得4*4的比较矩阵

 

问题在于候选层的比较矩阵怎么获得，有4000个教练的话，得比4000*3999次，这里就不必人为比较了，引入定量的数据用程序控制作比即可

 

胜率因素下就用胜率两两作比构造矩阵，从教时长因素下就用年长来做比

 

这里又有两点可以注意：

1.不同因素下数据的量纲和性质不一样，直接用数据作比来分配，不一定合适，比如胜率越要接近1越难，0.7比胜率0.5  和胜率0.9比0.7  ，后者比值比前者小，这显然不合适。建模中我们结合了幂函数和对数函数处理。

 

2.这里的用定量数据作比获得的矩阵显然满足一致性要求，不需要做一致性检验（想做还不好做，计算CR的值要有RI，RI的值查表只给出9个，计算4000个教练，需要4000个RI呢）

 

综上就对层次分析法完成了定性定量结合的应用，以及对多个候选方案的比较（其实只是就是用程序控制数据作比，我们水平有限，能成功应用该方法已经不容易了）

 

很遗憾的是比赛时编写的代码存放的优盘不慎丢失， 没有办法把代码共享出来， 这里只能将书中的代码贴出。比赛建模时， 就是在这个代码基础上进行修改实现。 只要理解了下列代码，编写符合自己需求的程序， 应当是水到渠成的事。

 

 代码:（对应于文章第一部分选 Leader 的内容）:

 

clc,clear
fid=fopen('txt3.txt','r');
n1=6;n2=3;
a=[];
for i=1:n1
    tmp=str2num(fgetl(fid));
    a=[a;tmp]; %读准则层判断矩阵
end
for i=1:n1
    str1=char(['b',int2str(i),'=[];']);
    str2=char(['b',int2str(i),'=[b',int2str(i),';tmp];']);
    eval(str1);
    for j=1:n2
        tmp=str2num(fgetl(fid));
        eval(str2); %读方案层的判断矩阵
    end
end
ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]; %一致性指标
[x,y]=eig(a);  % matlab eig(a) 返回矩阵的特征值和特征向量， 这里的 x 为矩阵 a 的 n 个特征向量， y 为矩阵 a 的 n 个特征值
lamda=max(diag(y));  %  eig 函数返回的 y 是矩阵形式保存的， dig(y) 提取对角线上的n 个特征值到一个数组中， 求出最大特征值 lamda
num=find(diag(y)==lamda);  % 返回最大特征的索引
w0=x(:,num)/sum(x(:,num));  % x( :num) 为最大特征值所对应的那一列特征向量。 w0 中准则层计算出的 包含归一化后的n 个权重值
cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1)

for i=1:n1 % 循环 n 个维度， 针对每个维度， 都计算一次方案层的比较矩阵及其权重值
    [x,y]=eig(eval(char(['b',int2str(i)])));
    lamda=max(diag(y));
    num=find(diag(y)==lamda);
    w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num));
    cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2);
end
cr1, ts=w1*w0, cr=cr1*w0

 

txt3.txt 中的内容， 前6行为准则层的 6 x 6 比较矩阵， 后 18 行则为 6 个准则下， 各自的 3 x 3 的比较矩阵。 

1 1 1 4 1 1/2
1 1 2 4 1 1/2
1 1/2 1 5 3 1/2
1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3
1 1 1/3 3 1 1
2 2 2 3 3 1
1 1/4 1/2
4 1 3
2 1/3 1
1 1/4 1/5
4 1 1/2
5 2 1
1 3 1/3
1/3 1 1/7
3 7 1
1 1/3 5
3 1 7
1/5 1/7 1
1 1 7
1 1 7
1/7 1/7 1
1 7 9
1/7 1 1
1/9 1 1

再上一段 JAVA 代码， 方便 JAVA 童鞋参考， 这部分仅仅展示了如何用JAVA 代码进行准则层比较矩阵计算 。 

 

import org.apache.commons.math3.linear.*;


public class MatrixTester {
    public static void main(String[] args) {

        // Create a real matrix with two rows and three columns, using a factory
        // method that selects the implementation class for us.
        double[][] matrixData = {   {1d,    1d,     1d,     4d,     1d,     1d/2d},
                                    {1d,    1d,     2d,     4d,     1d,     1d/2d},
                                    {1d,    1d/2d,  1d,     5d,     3d,     1d/2d },
                                    {1d/4d, 1d/4d,  1d/5d,  1d,     1d/3d,  1d/3d },
                                    {1d,   1d,     1d/3d,  3d,     1d,     1d },
                                    {2d,    2d,     2d,     3d,     3d,     1d },
                                };
        RealMatrix m = MatrixUtils.createRealMatrix(matrixData);



        // One more with three rows, two columns, this time instantiating the
        // RealMatrix implementation class directly.
        double[][] matrixData2 = {{1d, 2d}, {2d, 5d}, {1d, 7d}};
        RealMatrix n = new Array2DRowRealMatrix(matrixData2);

        // Note: The constructor copies  the input double[][] array in both cases.
        // Now multiply m by n
//        RealMatrix p = m.multiply(n);
//        System.out.println(p.getRowDimension());    // 2
//        System.out.println(p.getColumnDimension()); // 2
//
//        // Invert p, using LU decomposition
//        RealMatrix pInverse = new LUDecomposition(p).getSolver().getInverse();


        RealMatrix D = new EigenDecomposition(m).getD();
        RealMatrix V = new EigenDecomposition(m).getV();

        for(int i=0; i)
        {
            System.out.println(D.getRowMatrix(i));
        }

        for(int i=0; i)
        {
            System.out.println(V.getRowMatrix(i));
        }

        // 特征值
        double maxLamda;
        int columIndexForMaxLamda=0;
        maxLamda=D.getEntry(0,0);

        for(int i =0, j=0; ii)
        {
            double lamda = D.getEntry(i,j);
            if(maxLamda<lamda)
            {
                maxLamda=lamda;
                columIndexForMaxLamda = j;
            }
            System.out.println(lamda);
        }

        // 输出尚未做归一化 w1, w2, w3, w4, w5, w6 ， 
        System.out.println(V.getColumnMatrix(columIndexForMaxLamda));

    }
}