数据结构与算法 | 二分查找

原理

二分查找（Binary Search）算法，也叫折半查找算法。二分查找的思想非常简单，有点类似分治的思想。二分查找针对的是一个有序的数据集合，每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

为了方便理解，我们以数组1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 12, 15, 19, 23, 26, 29, 34, 39，在数组中查找26为例，制作了一张查找过程图，其中low标示左下标，high标示右下标，mid标示中间值下标

二分查找

二分查找的过程就像上图一样，如果中间值大于查找值，则往数组的左边继续查找，如果小于查找值这往右边继续查找。二分查找的思想虽然非常简单，但是查找速度非常长，二分查找的时间复杂度为O(logn)。虽然二分查找的时间复杂度为O(logn)但是比很多O(1)的速度都要快，因为O(1)可能标示一个非常大的数值，比例O(1000)。我们来看一张二分查找与遍历查找的效率对比图。

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图片来源网络

从图中可以看出二分查找用了三步就找到了查找值，而遍历则用了11步才找到查找值，二分查找的效率非常高。但是二分查找的局限性非常大。那二分查找有哪些局限性呢？

局限性

二分查找依赖数组结构

二分查找需要利用下标随机访问元素，如果我们想使用链表等其他数据结构则无法实现二分查找。

二分查找针对的是有序数据

二分查找需要的数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序，排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。

但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。

所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用

数据量太小不适合二分查找

如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多，只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。

数据量太大不适合二分查找

二分查找底层依赖的是数组，数组需要的是一段连续的存储空间，所以我们的数据比较大时，比如1GB，这时候可能不太适合使用二分查找，因为我们的内存都是离散的，可能电脑没有这么多的内存。

代码实现

二分查找可以使用循环或者递归来实现，我们来看看两种实现方式的代码。

循环

        /**
     * 循环版二分查找
     *
     * @param nums  数组
     * @param n     数组长度
     * @param value 要查找的值
     * @return
     */
    private static int bserach(int[] nums, int n, int value) {
        int low = 0;
        int high = n - 1;
        while (low <= high) {
            // 找出中间下标
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (nums[mid] > value) {
                high = mid - 1;
            } else if (nums[mid] < value) {
                low = mid + 1;
            } else {
                return mid;
            }
        }

        return -1;
    }

递归

/**
 * 递归算法实现二分查找
 *
 * @param nums  数组
 * @param low   左下标
 * @param high  右下标
 * @param value 要查找的值
 * @return
 */
private static int recursiveBserach(int[] nums, int low, int high, int value) {

    if (low > high) return -1;

    // 找出中间下标
    int mid = low + ((high - low) >> 1);

    if (nums[mid] == value) {
        return mid;

    } else if (nums[mid] > value) {
        return recursiveBserach(nums, low, mid - 1, value);
    } else {
        return recursiveBserach(nums, mid + 1, high, value);
    }
}

二分查找的代码实现起来比较简单，需要说明的地方是中间值的计算，中间值得计算有两种方式，方式一：int mid = (low +high)>>1，方式二：int mid = low + ((high - low) >> 1)。方式一存在溢出的风险，当low和high比较大时，有可能会导致mid的值错误，从而使程序出错。方式二则可以保证生成的mid一定大于low，小于high。

上面的二分查找比较简单，我们来看看变形的二分查找。

查找第一个等于给定值的元素

比如我们给定数组1,2,3,4,4,4,5,6,7,7,8,9，我们需要查找第一个等于4的元素。

/**
 * 查找第一个等于给定值的元素
 *
 * @param nums
 * @param length
 * @param value
 * @return
 */
private static int bsearchFirstValue(int[] nums, int length, int value) {
    int low = 0;
    int high = length - 1;
    while (low <= high) {
        int mid = low + ((high - low) >> 1);
        if (nums[mid] > value) {
            high = mid - 1;
        } else if (nums[mid] < value) {
            low = mid + 1;
        } else {
            // 判断当前是第一个元素或者前一个元素不等于要查找的值，则返回下标，如果前一个元素也等于要查找的值，则继续往前查找。
            if ((mid == 0) || (nums[mid - 1] != value)) return mid;
            else high = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

其他的都差不多，主要的区别是在nums[mid]==value时候，因为我们要查找的是第一个等于给定值的元素，所以我们需要判断mid的前一个元素等不等于给定值，如果前一个元素也等于给定值，则需要继续往左边查找。

查找第一个大于给定值的元素

比如我们给定数组1,2,3,4,4,4,5,6,7,7,8,9，15,26,34，45，我们随便输入一个值，这个值可以是数组里面的值，也不可不在数组里面，查找出第一个比给定值大的元素。

/**
 * 查找第一个大于给定值的元素
 *
 * @param nums   数组
 * @param length 数组的长度
 * @param value  给定的值
 * @return
 */
private static int bserachFirstOverVlaue(int[] nums, int length, int value) {
    int low = 0;
    int high = length - 1;
    while (low <= high) {
        int mid = low + ((high - low) >> 1);
        if (nums[mid] > value) {
            // 判断当前是第一个元素或者前一个元素小于等于给定值，则返回下标，如果前一个元素大于给定的值，则继续往前查找。
            if ((mid == 0) || nums[mid - 1] <= value) return mid;
            else high = mid - 1;
        } else {
            low = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

我们需要判断当nums[mid] > value时，nums[mid-1]是否小于或者等于给定值，如果是则mid就是第一个大于给定值的元素，如果不是这继续往左边查找。

以上就是关于二分查找的相关知识，二分查找虽然性能比较优秀，但应用场景也比较有限，底层必须依赖数组，并且还要求数据是有序的。所以我们在选用算法时需要从多方面考虑。

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