Python科学计算——检包络与去包络

检波 （detection）：广义的检波通常称为解调，是调制的逆过程，即从已调波提取调制信号的过程。狭义的检波是指从调幅波的包络提取调制信号的过程，这种检波方法也被称为包络检波。希尔伯特变换可以用作包络检波。

希尔伯特变换

Hilbert 变换能在振幅保持不变的情况下将输入信号的相角偏移 90 度，简单地说就是能够将正弦波形转换为余弦波形：

相角偏移90度相当于复数平面上的点与虚数单位 1j 相乘，因此 Hilbert 变换的频率响应可以用如下公式表示：

Hilbert 转换函数在 scipy.fftpack 函数库中，它的调用格式如下：

form scipy import fftpack
fftpack.hilbert(x)

包络检波

Hilbert 变换可以用作包络检波。具体算法如下：

# original singal
sampling_rate = 51200
fft_size = 51200
t = np.arange(0,1.0,1.0/sampling_rate)
ts = np.array(map(lambda x : x*1000, t))
x = np.sin(2*np.pi*1e3*t) + 0.1 * np.sin(2*np.pi*980*t) + 0.10 * np.sin(2*np.pi*1020*t)+ 0.01 * np.sin(2*np.pi*960*t) + 0.01 * np.sin(2*np.pi*1040*t)
xn = x + 0.005*np.random.normal(0.0,1.0,len(x))
# envelop detecting
hx = fftpack.hilbert(x)
hy = np.sqrt(x**2+hx**2)

检波性能分析

用频率扫描波可以测量滤波器的频率响应，也可以用它检测 Hilbert 变换用于包络检波的性能：

# parameters of filter
a = np.array([1.0, -1.947463016918843, 0.9555873701383931])
b = np.array([0.9833716591860479, -1.947463016918843, 0.9722157109523452])
# chirp signal
t = np.arange(0, 0.5, 1/44100.0)
x= signal.chirp(t, f0=10, t1 = 0.5, f1=1000.0)
# the chirp signal through the filter
y = signal.lfilter(b, a, x)
# hilbert transform
hy = fftpack.hilbert(y)

从上图可以看出，在高频和低频处包络计算出现较大的误差，而中频部分能很好地计算出包络的形状。

去包络算法

在 Hilbert 变换检测出包络的基础上，可以利用简单的去包络算法将包络从原始信号中去除而恢复载波信息，去包络算法用公式表示如下：

y = (2*x-hy)/hy*0.5 + 0.5

从上面的图可以看出，包络已经被很好的去掉，但是从时域图像，并不能完全确定包络被很好的去掉，我们需要从去包络前后信号的频率响应一探究竟：

从去包络前后信号的频率响应图可以看出，包络已经被很好的抑制，只剩下了单频载波信号。

去包络算法性能分析

从上述去包络前信号的频率响应图可以看出，其上下边带的幅度是相等的，当上下边带信号幅度不对等时，去包络算法效果会如何呢？

当边带信号幅度不对等时，包络的抑制效果就会变差，而且还会引入新的频率成份，这将会在一定程度上恶化信号。

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