信号分析与处理

能量$W=\lim\limits_{T \to \infty} \int_{-T}^{T} x^2(t)dt$

平均功率$G=\lim\limits_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x^2(t)dt$

能量有限信号$W$为有限值, 功率有限信号$W$无限,$G$为有限值, 若$W$和$G$都无限那么非能量非功率.

 

一. 连续时间信号分析

1. 基本连续信号

抽样信号$Sa(t)=\frac{sin(t)}{t}=sinc(\frac{t}{\pi}), sinc(t)=Sa(\pi t)$

$\int_{0}^\infty Sa(t)dt = \frac{\pi}{2}$

单位阶跃信号 $u(t)$

单位冲激信号 $\delta(t)$

$\delta(t)=\frac{du(t)}{dt}$

抽样特性$\int_{-\infty}^\infty x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)$

加权特性$x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t)$

尺度变换$\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$

二次冲激函数(冲激偶函数)$\int_{-\infty}^\infty x(t)\delta'(t-t_0)dt=-x'(t_0)$

$x(t)\delta'(t-t_0)=x(t_0)\delta'(t-t_0)-x'(t_0)\delta(t-t_0)$

 

2. 卷积

定义:$y(t)=x_1(t)*x_2(t)=\int_{-\infty}^\infty x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau$

微积分性质$y^{(i+j)}(t)=x_1^{(i)}(t)x_2^{(j)}(t)$

单位冲激函数为卷积的幺元$x(t)*\delta(t)=x(t)$

$x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)$

单位阶跃信号相当于积分器$x(t)* u(t)=\int_{-\infty}^t x(\tau)d\tau$

冲激偶函数相当于微分器$x(t)*\delta'(t)=x'(t)$

 

3. 傅里叶级数

$x(t)$为周期信号

三角型傅里叶级数: $x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty [a_n{cos}(n\Omega_0t)+b_n{sin}(n\Omega_0t)]$

$a_n=\frac{2}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t){cos}(n\Omega_0t)dt,n=0,1,2,...$

$b_n=\frac{2}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t){sin}(n\Omega_0t)dt,n=1,2,...$

指数型傅里叶级数:$x(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}X(n\Omega_0)e^{jn\Omega_0t}$

周期信号离散频谱函数$X(n\Omega_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{-jn\Omega_0t}dt$

高为$A$底宽$\tau$的矩形脉冲信号频谱函数$X(n\Omega_0)=\frac{A\tau}{T_0}Sa(n\Omega_0\tau/2)$

高为$A$底宽为$2\tau$的周期三角波频谱函数$X(n\Omega_0)=\frac{A\tau}{T_0}Sa^2(\frac{1}{2}n\Omega_0\tau)$

时移性质 $x(t-t_0)\leftrightarrow e^{-jn\Omega_0t_0}X(n\Omega_0)$

尺度变换性质$x(at)\leftrightarrow X(na\Omega_0)$

微积分性质$x^k(t) \leftrightarrow (jn\Omega_0)^kX(n\Omega_0)$

 

4. 傅里叶变换

$x(t)$为非周期信号

频谱密度函数$X(j\Omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j\Omega t}dt$

非周期信号的频域分解$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega$

非周期信号$x(t)$存在傅里叶变换的条件: 无限区间内绝对可积. 任意有限区间内只有有限个不连续点,这些点均为有限值. 任意有限区间内只有有限个最小值和最大值.

对偶性: 若$x(t)\leftrightarrow X(j\Omega)$, 则$X(jt)\leftrightarrow 2\pi x(-\Omega)$

时移性: $x(t-t_0)\leftrightarrow X(j\Omega)e^{-j\Omega t_0}$

一般求法是先求出$F(j\Omega)=F[\frac{dx(t)}{dt}]$, 然后有$X(j\Omega)=\pi F(0)\delta(\Omega)+\frac{1}{j\Omega}F(j\Omega)$

 

5. 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换$X(s)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{st}dt$

单边拉普拉斯变换$X(s)=\int_{0^{-}}^{\infty}x(t)e^{-st}dt$

条件$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)e^{-\sigma t}|dt<\infty$

这个应该直接套附录的公式就行

 

6. 相关函数

能量有限信号$R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^{*}(t-\tau)dt=\int_{-\infty}^{\infty}y^{*}(t)x(t+\tau)dt$

功率有限信号$R_{xy}(\tau)=\lim\limits_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)y^{*}(t-\tau)dt$

与卷积关系 $R_{xy}(t)=x(t)*y(-t)$

相关定理: $F[R_{xy}(\tau)]=X(j\Omega)Y^{*}(j\Omega)$

这个应该直接暴力算就可以

 

二. 离散时间信号分析

1. 离散卷积$x(n)*y(n)=\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x(m)y(n-m)$

 

2. 采样定理

$\Omega_s\ge 2\Omega_m$

$\Omega_s$为采样角频率, $\Omega_m$为信号谱最高角频率

题型1: 判断输出信号是否失真. 就是看输入信号的最高角频率,不满足采样定理则失真.

题型2: 给定模拟信号$x(t)$, 和采样频率$f_s$, 求采样后的输出信号. x(n)=x(nT_s)=x(\frac{n}{f_s})

 

3. 相关函数

能量信号$R_{xy}(m)=\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x(n)y(n+m)$

功率信号$R_{xy}(m)=\lim\limits_{N\to \infty}\frac{1}{2N+1}\sum\limits_{n=-N}^{N}x(n)y(n+m)$

 

4. 离散时间信号Z域分析

$X(z)=Z[x(n)]=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}$

 

 

5. 线性离散系统

单位采样响应$h(n)$: 输入为单位冲激序列时系统的输出

输出$y(n)=x(n)*h(n)$

 

三. 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换

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