算法笔记-分治法

 分治法：将问题分割，从一个大块分解为一个个小块，将问题规模变小。先解决小问题，在不停的整合结果集。 

（1）合并排序

　　思路：把数组（假如长度为8）中每一个元素分为一个数组（因为这个数组只有一个元素，所以可以看成是有序数组）。然后不停的把两个有序组数组成一个有序数组（两个数组谁的第一个小就array_shift谁）。过程图：

 

 　　代码：

 1 php
 2 $arr = [42, 15, 20, 6, 8, 38, 50, 12];
 3 
 4 function sliceArr($arr)                 //切分
 5 {
 6     $arr = array_chunk($arr, 1);
 7     while (count($arr) != 1)
 8         $arr = array_chunk ($arr, 2);
 9     return $arr;
10 }
11 
12 function mergeArr($arr)                 
13 {
14     if (is_array($arr[0][0])) {
15         $arr = [mergeArr($arr[0]), mergeArr($arr[1])];
16     }
17     $c = count($arr[0]) + count($arr[1]);
18     for ($i=0; $i<$c; $i++) {         //把两个有序数组合并成一个有序
19         $ret[] = (empty($arr[1]) || (! empty($arr[0]) && $arr[0][0] < $arr[1][0])) ? array_shift($arr[0]) : array_shift($arr[1]);
20     }
21     return $ret;
22 }
23 print_r(mergeArr(sliceArr($arr, 1)));

 

  （2）快速排序

　　思路：不停的根据数组的第一个值把数组分为三部分（大于，小于和等于这个值），然后再拼到一起。

　　代码：

 1 php
 2 $arr = [42, 15, 20, 6, 8, 38, 50, 12];
 3 
 4 function quickSort($arr)
 5 {
 6     if (count($arr) < 2)
 7         return $arr;
 8     
 9     $max = $min = $mid = array();
10     foreach ($arr as $v) {
11         $v <= $arr[0] ? $v == $arr[0] ? $mid[] = $v : $min[] = $v : $max[] = $v;
12     }
13     return array_merge(quickSort($min), $mid, quickSort($max));
14 }
15 print_r(quickSort($arr));

 

 （3）大数相加

　　思路：比如3431+235可以转换为(1+5)+(30+30)+(400+200)+(3000)，可以用数组保存数组，比如3431可以表示为[1, 3, 4, 1]，其中键值表示位数，比如$arr[0]表示个位（10的0次方），$arr[1]表示十位（10的1次方）。注意处理进位问题

　　代码：

 1 php
 2 function add($n1, $n2)
 3 {
 4     list($narr1, $narr2) = is_array($n1) ? [$n1, $n2] : [splitNum($n1), splitNum($n2)];
 5     $c = max([count($narr1), count($narr2)]);
 6     for ($i=0; $i<$c; $i++) {                                                   //各位次依次相加
 7         list($res[], $carry) = ($sum = $narr1[$i] + $narr2[$i] + $carry) >= 10 ? [$sum - 10, 1] : [$sum, 0];       
 8     }
 9     $carry && $res[] = $carry;                                                  //进位
10     return $res;
11 }
12 
13 function splitNum($n)       //例如：将213转换为[3, 1, 2]
14 {
15     $res = [];
16     while($n != 0) {
17         list($res[], $n) = [$n % 10, intval($n / 10)];
18     }
19     return $res;
20 }

 

（4）大数相乘

　　思路：比如3431*235可以转换为(3*10^3 + 4*10^2 + 3*10^1 + 1*10^0)*(2*10^2 + 3*10^1 + 5*10^1)，然后乘法分配律。比如计算3*10^3 * 3*10^1，只计算3*3就可以了，转换为数组之后，数组前面填充(3+1)个0，然后再利用上面的加法，把全部项加到一起

　　代码：

 1 php
 2 function add($n1, $n2)
 3 {
 4     list($narr1, $narr2) = is_array($n1) ? [$n1, $n2] : [splitNum($n1), splitNum($n2)];
 5     $c = max([count($narr1), count($narr2)]);
 6     for ($i=0; $i<$c; $i++) {                                                   //各位次依次相加
 7         list($res[], $carry) = ($sum = $narr1[$i] + $narr2[$i] + $carry) >= 10 ? [$sum - 10, 1] : [$sum, 0];       
 8     }
 9     $carry && $res[] = $carry;                                                  //进位
10     return $res;
11 }
12 
13 function mult($n1, $n2)
14 {
15     list($narr1, $narr2, $res) = [splitNum($n1), splitNum($n2), []];
16     foreach ($narr1 as $k1 => $v1) {
17         foreach ($narr2 as $k2 => $v2) {
18             //array_merge后面的是相乘的结果，前面的是进位 比如200 * 80 = 2*8 000 表示为[0, 0, 0, 6, 1]
19             $tmp = array_merge(array_fill(0, $k1 + $k2, 0), splitNum($v1 * $v2));
20             $res = add($tmp, $res);
21         }
22     }
23     return $res;
24 }
25 
26 function splitNum($n)       //例如：将213转换为[3, 1, 2]
27 {
28     $res = [];
29     while($n != 0) {
30         list($res[], $n) = [$n % 10, intval($n / 10)];
31     }
32     return $res;
33 }
34 print_r(mult(3278, 29926));

 

　　补充：也可以用字符串表示数字，然后以之前列式子的方法计算，比如：314 + 45，乘法同样（和上面不同的是，这次只是拆分了一个数；还有就是用字符串表示的并非数组）：

　　　　　　　　3  1  4

　　　　　　+　　  4  5

　  　　　　　　 3  5  9

 1 php
 2 function fadd($p1, $p2) {return $p1 + $p2;}
 3 function fmul($p1, $p2) {return $p1 * $p2;}
 4 
 5 function cel($p1, $p2, $oper = 'fadd')
 6 {
 7     $p1 = str_split($p1); $p2 = str_split($p2);                     //初始化
 8     end($p1); end($p2);
 9     
10     do {
11         $digit = $oper(current($p1), current($p2));                 //这个函数做乘法的时候也可以用到
12         $res = (substr($digit, -1, 1) + $over) . $res;              //个位 + 之前的进位
13         $over = substr($digit, 0, strlen($digit) - 1);              //现在的进位
14         prev($p1); prev($p2);
15     } while((current($p1) !== false || current($p2) !== false) || $over);
16     return $res;
17 }
18 
19 function mul($p1, $p2)
20 {
21     $p1 = str_split($p1); end($p1);                                 //初始化，把p1作为被乘数（下面的那个）
22     $len = strlen($p2);
23     do {
24         $res[] = cel($p2, str_repeat(current($p1), $len), 'fmul');  //根据cel的逻辑  132*5 相当于cel(132, 555, 'fmul')
25     } while(prev($p1) !== false);
26     
27     foreach ($res as $k => $v) {                                    //这里把res里的值都加一起，但要注意需要乘上10的$k次方（就是在字符串后面添加k个0）
28         $count = cel($count, $v . str_repeat('0', $k));
29     }
30     return $count;
31 }
32 
33 $p1 = '5462'; $p2 = '56';
34 echo cel($p1, $p2);         //相加：5518
35 echo mul($p1, $p2);         //相乘：305872