数据结构与算法----递归

递归

简单介绍

最直接的就是：递归在一直反复调用自身函数进行解决问题

递归有两个重要概念：

• 递归边界（终止条件）：定义递归何时停止，避免无限调用。

• 递归式（递归调用）：描述如何将问题分解为更小的子问题，并通过调用自身得到结果。

分治思想

分治法是一种重要的算法思想，它将原问题划分为若干个规模较小但结构与原问题相似的子问题，分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并为原问题的解。

递归是实现分治思想的一种常见方式，但分治也可以通过迭代等其他方法实现。

大致步骤：

1. 分解：将原问题划分为若干个规模较小、结构相似的子问题。

2. 解决：递归地求解子问题；当子问题规模足够小（通常达到递归边界）时，直接求解。

3. 合并：将所有子问题的解合并，得到原问题的最终解。

注意事项：

• 子问题之间应相互独立、无交叉，否则可能导致重复计算或逻辑错误。

• 分治法适用于问题具有“可分解性”和“子问题可合并性”的场景。

示例

一、求解：n!（n的阶乘）

问题描述

计算一个非负整数 n 的阶乘，即

例如，

递归思路

• 递归边界：n=0 或 n=1时，n!=1（注意：数学上 0!=1）。

• 递归式：

代码实现

 #include
 using namespace std;
 ​
 int F(int n) {
     if (n == 0 || n == 1) return 1; // 递归边界
     return F(n - 1) * n;           // 递归式
 }
 ​
 int main() {
     int n;
     cin >> n;                      // 输入非负整数 n
     cout << F(n) << endl;          // 输出 n!
     return 0;
 }

运行示例

• 输入：5

• 输出：120

注意

• 输入 nnn 应为非负整数，否则需添加输入校验。

• 递归深度过大（如 nnn 太大）可能导致栈溢出。

二、斐波那契数列

问题描述

斐波那契数列是一个数列，其中每个数是前两个数的和。通常定义为：

• F(0)=0

• F(1)=1

• F(n)=F(n−1)+F(n−2)

例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

递归思路

• 递归边界：n=0时返回 0，n=1时返回 1。

• 递归式：F(n)=F(n−1)+F(n−2)

 #include
 using namespace std;
 ​
 int F(int n) {
     if (n == 0) return 0;          // 递归边界
     if (n == 1) return 1;          // 递归边界
     return F(n - 1) + F(n - 2);    // 递归式
 }
 ​
 int main() {
     int n;
     cin >> n;                      // 输入非负整数 n
     cout << F(n) << endl;          // 输出第 n 个斐波那契数
     return 0;
 }

运行示例

• 输入：6

• 输出：8

注意

• 该实现的时间复杂度为 O(2n)，效率较低，因为存在大量重复计算（如 F(n−1))和 F(n−2)会重复计算子问题）。

• 优化方法：可以使用动态规划或记忆化递归，将时间复杂度降至 O(n)。

递归的优缺点

优点：

• 代码简洁，逻辑清晰（如树遍历）。

• 天然适合分治类问题。

缺点：

• 栈溢出：递归深度过大会导致栈溢出。

• 重复计算：如斐波那契递归存在大量重复计算（可通过记忆化优化）。

• 效率低：函数调用开销较大。

常见错误及避免

1. 缺失递归边界：导致无限递归，务必优先定义边界条件。

2. 错误合并结果：分治问题需确保合并逻辑正确。

3. 忽略重复计算：对重叠子问题使用记忆化优化。

递归优化技巧

1. 尾递归：递归调用放在函数末尾，避免栈帧累积（部分语言支持尾递归优化）。

2. 记忆化：记录已计算的子问题结果，避免重复计算。

3. 迭代替代：对于简单递归问题，可用循环实现以节省空间。

其他经典示例

1. 汉诺塔问题：通过递归将大问题分解为移动单个盘子和递归移动子塔。

2. 二叉树遍历：前序、中序、后序遍历都可用递归实现。

3. 快速排序：通过递归划分数组实现排序。

4. 回溯算法：如八皇后问题，递归尝试所有可能路径。