LCT ——学习笔记

终于会LCT了。我原本splay只会写刘汝佳的递归版本，用它写LCT各种烦。。。然后还是去学了一下非递归的。。。
LCT的思想有点类似树链剖分，即把边分为实边和虚边两类。树链剖分是用于静态问题的，没有边的插入删除，而LCT是动态树，显然两者实边和虚边具体定义不同。
LCT的实/虚边是不断变化的，和树链剖分类似，连成一条链的实边路径用splay维护其中的信息。splay序列按点的深度的顺序的，我们规定其中序遍历是从浅到深的。现在整棵树被剖分成了若干条链，如何把他们关联起来呢，我们只需要记录每棵splay中的最高点的父亲结点即可。具体实现的话，我们把他记在splay的根节点的fa上。
核心操作：access（x）。作用是把x到根的路径上的边都变为实边。(x和根分别成为链的头和尾)
假如我们已经实现了access（x）和splay，就能简单写出以下操作：
1.make_root(x)：把x转化为根。

inline void make_root(int x){
    access(x); Splay(x); T[x].rev^=1;//打标记，把旧根到新根之间的链翻转
}

2.link(x,y)：连边x->y （x,y处于不同的树）

inline void link(int x,int y){
    make_root(x); T[x].fa=y; //直接把splay根的父节点接上即可，注意这里并没有改变splay的结构，新边是虚边。
}

3.获得x到y路径的信息

make_root(x); access(y); Splay(y);
//当前y节点的信息即是路径x到y的信息

4.cut(x,y), 删边x->y (需要保证有边)

inline void cut(int x,int y){
    make_root(x); access(y); Splay(y);
    T[y].ch[0]=fa[x].fa=0;  //有边存在则x,y一定相邻，且y在链的最高处
}

自己yy一下应该不难理解。
现在看一下access的实现：

inline void access(int x){
    for(int t=0;x;t=x,x=T[x].fa) Splay(x), T[x].ch[1]=t, maintain(x);
    //t表示之前的链的splay的根。
}

其实就是一步一步往上走啊。看上去很暴力，但可以证明均摊是log(n)的：(以下参考了2006年陈首元神犇的论文)
对于动态树中每个w的儿子边w->v，如果v的子树大小>w的子树大小/2，称为A类边，否则成为B类边。
显然每个点最多连出一条Ａ类边，树中每条路径上最多有O(logN)条Ｂ类边。显然这就是树链剖分中的轻重边，所以LCT和树链剖分是密切相关的。
令p为B类边中的虚边数。
执行一次access，可能会添加许多边，每一次：
1.添加一条B类虚边进入路径：p+1
这种情况最多发生O(logN)次
2.添加一条A类虚边进入路径：p-1 (原本的B类边变为虚边)
可能发生许多次，但代价是p，p是保持非负的。
由上面分析可以看出平均每次操作要执行O(logN)次路径操作。

下面是 [ZJOI2010]count 数字计数 的LCT写法：

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL maxn=50010, INF=0x7fffffff;
struct node{
    LL fa,ch[2],w,sum,_max;
    bool rev;
} T[maxn];
int q[maxn],top;
inline void maintain(int x){
    T[x].sum=T[T[x].ch[0]].sum+T[T[x].ch[1]].sum+T[x].w;
    T[x]._max=max(T[x].w,max(T[T[x].ch[0]]._max,T[T[x].ch[1]]._max));
}
inline bool is_root(int x){
    return T[T[x].fa].ch[0]!=x&&T[T[x].fa].ch[1]!=x;
}
inline void pushdown(int x){
    if(!T[x].rev) return;
    T[T[x].ch[0]].rev^=1; T[T[x].ch[1]].rev^=1;
    swap(T[x].ch[0],T[x].ch[1]);
    T[x].rev=0;
}
void rot(int k){
    int p=T[k].fa, d=(T[p].ch[1]==k)^1, t=T[p].fa;
    if(!is_root(p)) T[t].ch[T[t].ch[1]==p]=k;
    T[p].ch[d^1]=T[k].ch[d]; T[T[k].ch[d]].fa=p;
    T[k].ch[d]=p; T[p].fa=k; 
    maintain(p); maintain(k); T[k].fa=t;
}
void Splay(int x){
    q[++top]=x;
    for (int i=x;!is_root(i);i=T[i].fa) q[++top]=T[i].fa;
    while(top) pushdown(q[top--]);
    while(!is_root(x)){
        int y=T[x].fa, z=T[y].fa, d1=T[y].ch[1]==x, d2=T[z].ch[1]==y;
        if(!is_root(y)){
            if(d1==d2) rot(y), rot(x);
                  else rot(x), rot(x);
        } else rot(x);
    }
}
inline void access(int x){
    for(int t=0;x;t=x,x=T[x].fa) Splay(x), T[x].ch[1]=t, maintain(x);
}
inline void make_root(int x){
    access(x); Splay(x); T[x].rev^=1;
}
inline void link(int x,int y){
    make_root(x); T[x].fa=y;
}
inline void cut(int x,int y){
    make_root(x); access(y); Splay(y);
}
inline LL getint(){
    LL res=0,ff=1; char ch=getchar();
    while(!('0'<=ch&&ch<='9')){ if(ch=='-') ff=-1; ch=getchar(); }
    while('0'<=ch&&ch<='9') res=res*10+ch-'0', ch=getchar();
    return res*ff;
}
char ch[10];
long long n,m,u[maxn],v[maxn];
int main(){
    freopen("lct.in","r",stdin);
    freopen("lct.out","w",stdout);
    n=getint(); T[0]._max=-INF;
    for(int i=1;i<=n-1;i++) u[i]=getint(), v[i]=getint();
    for(int i=1;i<=n;i++) T[i].w=getint(), T[i].sum=T[i]._max=T[i].w;
    for(int i=1;i<=n-1;i++) link(u[i],v[i]);
    m=getint();
    while(m--){
        scanf("%s",ch); int x=getint(), y=getint();
        if (ch[1]=='H') Splay(x), T[x].w=y, maintain(x);
        if (ch[1]=='M') cut(x,y), printf("%lld\n",T[y]._max);
        if (ch[1]=='S') cut(x,y), printf("%lld\n",T[y].sum);
    }
    return 0;
}