[笔记] 常见聚类算法总结

最近，在完成 ‘多核程序设计与实践’ 这门课程的大作业时，需要接触不同的聚类算法，对其进行 CUDA 并行化的改进。
所以，顺便以这篇博客作为聚类算法相关知识的笔记。
此外，聚类算法往往涉及到数据点之间的距离 / 相似度的计算，关于这方面的知识，欢迎看我的另一篇笔记：Meatric Learning(暂无)。

目录

1. K-Means
2. GMM
3. MeanShift
4. Hierarchical Clustering
5. DBSCAN
6. Spectral Clustering
7. Affinity Propagation

1. K-Means

伪代码：
Step 1 : 随机选择 K 个聚类质心点 (Cluster Centroids)
Step 2 : 对每个点计算到各个聚类质心点的距离，将其类别划分为距其最近的聚类质心点
Step 3 : 计算每个簇 (Cluster)的质心，以此更新每个簇的质心点
Step 4 : 若聚类质心点不再发生变化或者已达最大迭代次数，算法结束；否则，转到Step 2。

优点：

• 原理简单，实现容易
• 可解释性较强，所依赖参数较少

缺点：

• 依赖 K 值的设定
• 对初始的聚类质心点敏感，常见解决办法为：
  (1) 多次运行算法，以此降低算法对于随机初始化的敏感度
  (2) 使用 K-Means++或者二分均值 K-Means
• 对噪声/异常点较为敏感，常见解决办法为：
  (1) 进行离群点检测，即 LOF 算法
  (2) 将 K-Means 算法改进为 K-Medoids 算法

2. GMM (Gaussian Mixture Model)

有文章认为 K-Means 是 Hard EM，GMM 是 Soft EM。

伪代码：
Step 1 :
(1)方案一：协方差矩阵${\Sigma }_k$设为单位矩阵，每个模型比例的先验概率${\pi }_k=1/N$，均值$u_k$设为随机数。
(2)方案二：利用 K-Means 对样本进行聚类，设各类的均值作为$u_k$，并计算${\Sigma }_k$，${\pi }_k$取各类样本占样本总数的比例。
Step 2 : 计算数据点$x_i$为$Componen{t}_k$生成的概率。(E-step，Expectation-Step)
$$\gamma (x_i,Componen{t}_k)=\frac{{\pi }_k\ast N(x_i|u_k,{\Sigma }_k)}{{\sum }_{k=1}^K{\pi }_k\ast N(x_i|u_k,{\Sigma }_k)}$$
Step 3 : 计算每个$Componen{t}_k$的参数。(M-step，Maximization-Step)
各个类别的个数：$N_k={\sum }_{k=1}^K\gamma (x_i,Componen{t}_k)$
各个类别的均值：$u_k={\sum }_{k=1}^K{x}_i\gamma (x_i,Componen{t}_k)/N_k$
各个类别的协方差矩阵：${\Sigma }_k={\sum }_{k=1}^K\gamma (x_i,Componen{t}_k)(x_i-u_k)(x_i-u_k{)}^T$
各个Component的先验概率（混合系数）：${\pi }_k=\frac{N_k}{N}$
Step 4 : 若模型不再发生变化（变化幅度小于阈值）或者已达最大迭代次数，算法结束；否则，转到Step 2。

优点：

• GMM 并不是直接得到一个确定的分类标记，而是得到每个类的概率。这使得 GMM 不仅可以用在聚类上，也可以用在概率密度估计上。

缺点：

• 估算协方差矩阵需要足够数量的数据点。
• 对初始值的选取较为敏感。

3. MeanShift

伪代码：
Step 1 : 将所有数据点 $x_i$ 设置为未标注。
Step 2 : 在未标注的数据点 $x_i$ 中随机选择一个作为center。
Step 3 :
将离 $center$ 的距离小于等于 $bandwidth$ 的所有点，记为集合 $M$，并其类别为 $C$。
同时，将集合 $M$ 内所有点关于类别 $C$ 的次数加一。
Step 4 : 以 $center$ 为中心点，计算集合 $M$ 中每个元素的向量，并将这些向量相加，得到向量 $shift$。
Step 5 : 更新 $center=center+shift$，即沿着 $shift$ 方向移动 $center$，移动距离为 $||shift||$。
Step 6 : 若 $||shift||$小于阈值或迭代次数达到最大迭代次数，则转到Step 7；否则，转到 Step 3。
Step 7 : 若收敛时 $center$ 与其他类别的 $center$的距离小于阈值，则合并两个类别；否则，记录类别 $C$，记为新增类别。
Step 8 : 若所有数据点 $x_i$ 都被标注，则转到 Step 9；否则，转到 Step 2。
Step 9 : 遍历各个集合，对集合中所有数据点 $x_i$，根据其关于类别访问次数，取集合中其访问次数最大的类别作为集合的归属类别。

优点：

• 无需事先给出簇个数。

缺点：

• 依赖参数 $bandwidth$ 的设置。

4. Hierarchical Clustering

Hierarchical Clustering（即层次聚类算法），也被称为系统聚类算法，与其他聚类算法不同，该算法对类别进行聚类，即将相似的类别聚为一个更大的类别或将一个类别二拆为两个小类别。其中，前者为自底向上算法（Bottom-up algorithms），后者称为自顶向下算法（Top-down algorithms）。

在层次聚类算法中，除了数据点之间的距离计算公式（metric）需要确定外，也需要确定类别之间的距离计算公式（linkage）。其中，常见的类间距离如下所示：

• 最短距离 (Single Linkage / Nearest-Neighbor) : 取分别属于两个类别且距离最近的两个数据点的距离作为这两个类别的距离。
• 最长距离 (Complete Linkage) : 取分别属于这两个类别且距离最远的两个数据点的距离作为这两个类别的距离。
• 类平均距离 (Group Average) : 遍历分别属于这两个类别的数据点的 pair，求所有 pair 的距离的平均值，作为这两个类别的距离。

PS：在我之前学过的《数据分析方法》（梅长林 范金城 编）第189页中，介绍的谱系聚类法应该就是对应这个Hierarchical Clustering了，虽然感觉根据名字来看应该对应 Spectral Clustering

伪代码： （此处仅介绍常见的自底向上的算法流程）
Step 1 : 设置所有数据点 $x_i$ 各自属于类别 $i$。
Step 2 : 计算每个类别的类间距离，并选择类间距离最小的两个类别进行合并，并将合并过程通过 Dendrogram （一种树结构，动图中有进行展示）进行记录。
Step 3 : 若所有数据点 $x_i$ 都属于同一类别，则转到 Step 4；否则，转到 Step 2。
Step 4 : 根据 Dendrogram 以及问题需求，确定簇的个数，并对聚类结果进行划分。

优点：

• 无需事先给出簇个数，可根据所得聚类结果选择适当的簇个数。

缺点：

• 算法复杂度高，所需运行时间长。
• 算法对类间距离的设置较为敏感。

5. DBSCAN

定义：

• $ϵ$-邻域：对于$x_j\in D$，其$ϵ$-邻域为样本集D中与$x_j$的距离不大于$ϵ$的子样本集，即$N_{x_j}=\{x_i\in D|distance(x_i,x_j)\le ϵ\}$, 子样本集的个数记为$|N_{x_j}|$。

• 核心对象：对于任一样本$x_j\in D$，如果其$ϵ$-邻域对应的$N_{x_j}$至少包含 $MinPts$ 个样本，即如果$|N_{x_j}|\ge MinPts$，则$x_j$是核心对象。

• 密度直达：如果$x_i$位于$x_j$的$ϵ$-邻域中，且$x_j$是核心对象，则称$x_i$由$x_j$密度直达，反之不一定成立。

• 密度可达：对于$x_i$和$x_j$,如果存在样本样本序列$p_1,p_2,...,p_T$,满足$p_1=x_i$,$p_T=x_j$, 且$p_{t+1}$由$p_t$密度直达，则称$x_j$由$x_i$密度可达。也就是说，密度可达满足传递性。此时序列中的传递样本$p_1,p_2,...,p_{T-1}$均为核心对象，因为只有核心对象才能使其他样本密度直达，密度可达也不满足对称性，这个可以由密度直达的不对称性得出。

• 密度相连：对于$x_i$和$x_j$,如果存在核心对象样本$x_k$，使$x_i$和$x_j$均由$x_k$密度可达，则称$x_i$和$x_j$密度相连，密度相连关系是满足对称性的。

伪代码：
Step 1 : 将所有数据点 $x_i$ 设置为未标注。
Step 2 : 在未标注的数据点 $x_i$ 中随机选择一个数据点$x_j$，并计算其$ϵ$－领域子样本集$N_{x_j}$。若$|N_{x_j}|\ge MinPts$，则将$x_j$添加到核心对象样本集合中。
Step 3 :
将离 $center$ 的距离小于等于 $bandwidth$ 的所有点，记为集合 $M$，并其类别为 $C$。
同时，将集合 $M$ 内所有点关于类别 $C$ 的次数加一。
Step 4 : 以 $center$ 为中心点，计算集合 $M$ 中每个元素的向量，并将这些向量相加，得到向量 $shift$。
Step 5 : 更新 $center=center+shift$，即沿着 $shift$ 方向移动 $center$，移动距离为 $||shift||$。
Step 6 : 若 $||shift||$小于阈值或迭代次数达到最大迭代次数，则转到Step 7；否则，转到 Step 3。
Step 7 : 若收敛时 $center$ 与其他类别的 $center$的距离小于阈值，则合并两个类别；否则，记录类别 $C$，记为新增类别。
Step 8 : 若所有数据点 $x_i$ 都被标注，则转到 Step 9；否则，转到 Step 2。
Step 9 : 遍历各个集合，对集合中所有数据点 $x_i$，根据其关于类别访问次数，取集合中其访问次数最大的类别作为集合的归属类别。

优点：

• 无需事先给出簇个数，且可以对任意形状的稠密数据集进行聚类。
• 对异常点不敏感。
• 不依赖算法初始化。

缺点：

• 依赖参数 $ϵ$和$MinPts$的设置。

6. Spectral Clustering

Spectral Clustering 比较复杂，需要对凸轮、线性代数、矩阵分析都有一定的了解，所以在这篇博文中我仅粗略的讲解。

伪代码：
Step 1 : 确定降维后的维度 $K_1$以及簇的个数 $K_2$。
Step 2 : 构建样本的相似矩阵 $S$，并以此构建邻接矩阵 $W$ 和度矩阵 $D$。
Step 3 : 计算拉普拉斯矩阵 $L$，并对其进行标准化，即 $D^{-1/2}L{D}^{-1/2}$。
Step 4 : 计算 $D^{-1/2}L{D}^{-1/2}$ 最小的 $K_1$ 个特征值所各自对应的特征向量 $f$，并将其组成矩阵，进行行标准化后得到特征矩阵 $F$，其维度为 $n\ast K_1$（其中，$n$ 为数据点的个数）。
Step 5 : 将该矩阵作为新的数据点，利用其他聚类方式对其进行聚类，并设定簇的个数为 $K_2$。

优点：

• 仅需要求解相似度矩阵。
• 较之其他聚类算法，该算法能较好地处理高维数据。

缺点：

• 该算法的运行速度和最终的聚类效果依赖降维的幅度。
• 该算法依赖求解相似矩阵的方式，不同相似矩阵将导致不同的聚类效果。

7. Affinity Propagation

伪代码：
Step 1 : 计算初始的相似度矩阵，并将各个数据点 $x_i$ 之间的吸引度 $r(i,k)$ 和归属度 $a(i,k)$ 置为 0。
Step 2 : 更新各个数据点 $x_i$ 之间的吸引度 $r(i,k)$，再更新各个数据点 $x_i$ 之间的归属度 $a(i,k)$，公式如下:
$$r(i,k)=s(i,k)-max(a(i,k^{{}^{\prime }})+s(i,k^{{}^{\prime }}),\forall k^{{}^{\prime }}̸=k)$$
$$a(i,k)=min(0,r(k,k)+\sum _{i^{{}^{\prime }}\notin \{i,k\}}r(i^{{}^{\prime }},k))$$
$$r_{t+1}(i,k)=\lambda \ast r_t(i,k)+(1-\lambda )\ast r_{t+1}(i,k)$$
$${\alpha }_{t+1}(i,k)=\lambda \ast {\alpha }_t(i,k)+(1-\lambda )\ast {\alpha }_{t+1}(i,k)$$
Step 3 : 通过 $max(a(i,k)+r(i,k))$，确定数据点 $x_i$ 的代表样本点（所属类别）$k$。
Step 4 : 若模型不再发生变化（变化幅度小于阈值）或者已达最大迭代次数，算法结束；否则，转到Step 2。

优点：

• 无需事先给出簇个数。
• 随机初始化操作不影响算法结果。
• 能给出每个簇中最具代表性的点，即 Examplar。

缺点：

• 算法复杂度高，所需运行时间长。

参考资料：

• 漫谈 Clustering 系列
• 各种聚类算法的系统介绍和比较
• 各种聚类算法（原理+代码+对比分析）最全总结
• 数据科学家需要了解的5种聚类算法
• The 5 Clustering Algorithms Data Scientists Need to Know
• 聚类算法总结(1)
• 聚类算法总结(2)
• k-means 的原理，优缺点以及改进
• 高斯混合模型（GMM）及其EM算法的理解
• 高斯混合模型GMM的C++实现
• DBSCAN密度聚类算法
• 谱聚类（spectral clustering）原理总结

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作者信息：
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