四色着色的证明
我想：如果欧拉先生在世，四色问题就不可能成为难题，对他来说，几分钟就可解决。何以见得？有哥尼斯堡七桥问题的解决和关于平面图的欧拉公式为证。
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现在的数学家们为什么没有用演绎的方法证明它？不知道!更不知道有几个有思想的数学家在研究它，学而有成，若研究而没有结果，那将是他们的事业的失败，有几人愿冒险而为之？做些有规有矩的事，发些鸡毛蒜皮、无关痛痒的论文，做教授、做研究员恐怕也不是什么难事吧。何苦而为之。 WN;
我所知道的研究者，大抵都是些“江湖数学”工作者，抱着冲天的热情，大部分不知图论为何物，就一头扎入了“研究”工作中，成果吧是有的，就是除了他自己，世界上再没有人能看懂他的论文，这是一类；另一类就是死抱着五色定理的证明方法不放，一条道走到底，举者双手到处高喊：我证明四色定理啦! 我证明四色定理啦!现在，至少在我国，如果你不是数学工作者，关于难题的论文要受到认真的、严格的审查的大门基本是关闭的。 ~x}I&
还是回到问题的本身来吧，五色定理在我看来是个又老又丑、无能无用的瘪老头，是他最先娶了四色问题，它的老和无能无用就不用说啦，来说说它的丑吧：比如，有一问题，1＋2＋3＝？你怎么算都无所谓；又一问题，1＋2＋3＋。。。。。。＋10000＝?，如果有人掰着手指去算，你会说他没学数学，但他能！三角形内角和问题，还有人掰手指，不知道该说什么。在如果有人用电脑去算，你不觉得他深通阿佩尔们证明四色定理之道吗？ GX
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四色定理的分析证明 brk
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摘要：四色定理可用最大平面图上每个顶点仅分配三条及以下邻接边而着色的方法来证明它。 "F
关键词：图论、四色定理、最大平面图、基准三角形、数学归纳法 O_.T
四色定理的由来：１８５２年英国绘图员法兰西斯•古特里提出：为什么地图只用四种颜色就可把任意相邻的不同区域区分开来？１８７８年，英国著名数学家凯莱把这个问题公开通报给伦敦数学会的会员，起名“四色问题”，征求证明，但一直没有一个证明能站得住脚。直到１９７６年９月，美国数学会公布：阿佩尔和哈肯用３台ＩＢＭ３６０型超高速计算机运行１２００多小时，做了１００多亿个判断，终于证明了四色问题是对的；问题虽然解决了，但是争论却没有停止，不仅因为阿佩尔论文发表之后，他们就一直在忙着改错，直到１９８４年；而且，就算计算机的证明完全正确，这样“完全正确的证明”对人们关于问题的理解没有太多的帮助；所以数学家们还是想甩开计算机，仍然象过去一样，用一般的演绎方法来证明四色定理［１］； A/ /T*
后人已经证明平面地图的着色与其对偶图（平面图）的着色是等价的；即四色定理定义为：任意平面图是４可着色的［２］。 &YJ1l
定义： 8/Md#P
Ａ。颜色约束：颜色约束线（即平面图的边，用有向线表示）的出发点（约束点）对到达点（被约束点）的颜色限制：被约束点的可用颜色的集合不能包含约束点的使用颜色，即被约束点的颜色与约束点的颜色不能相同； 0h1vM
Ｂ。基准三角形：一般平面图在着色时，先补边将其转化为最大平面图，然后可任意指定其中一个三角形为基准三角形，基准三角形的三个顶点可任意着为三种不同的颜色，以便确定其他各点的颜色；基准三角形的顶点不接受基准三角形的三条边外的任何颜色约束线，它们只能发出颜色约束线； zv"Cb
四色定理的证明思路：（例子见附图一、二） (7cD&
第一．五色定理的证明及四色定理的机器证明，执行的是强行配色方案，没有揭示它们成立的深层的根本原因；下面采用软配色方案（4着色的可行性用方程组解的存在性来代替）。 ;?L`
第二．平面图可以是无向图，但在为其配色时，可先将其转化为最大平面图（即每个面均为三角形的平面图），它的所有边（除基准三角形的三条边外）可全部定义为单向的颜色约束线（虽然是单向的，它仍然可保证它的两端点的颜色是不同的）。 #!*#
第三．除基准三角形的三个顶点外，如果最大平面图任意一点均可只分配到三条颜色约束线，就可把最大平面图的边（当然除基准三角形的三条边外）全部分配完，则每个顶点仅受三个约束点约束，无论三个约束点的颜色是否相同，被约束点在四色条件下，必至少有一种颜色可用。 )
第四．最大平面图上一顶点，设它有相邻顶点m个，它必须最多仅被其中三个顶点约束其颜色，其余的顶点是它的被约束点，即顶点被约束度≤顶点的度（顶点的度=约束度+被约束度）。 `
第五．任意包含Ｋ５子图的图（包含同胚Ｋ５子图的图已非平面图，包含Ｋ５子图的图当然不是平面图），必有一顶点分配到四条或四条以上的边，而且是来自四种及以上的颜色不同的顶点的边，这里的证明方案可区分这种情况。这是利用点边数量关系式来配色的前提和基础。 y
分析到此，余下的任务就是证明： [-V|?(
定理A：最大平面图除基准三角形的三个顶点外的任意一点总能平均地分配到三条边（既颜色约束线），而且除基准三角形的三条边外的所有边都已被分配完（或者说：最大平面图任意顶点的被约束度总能同时≤3，基准三角形的三个顶点的被约束度均为0）。 .
我们让数学归纳法来发挥威力： |^br7
１．显然，最大平面图仅有４点时，定理成立（参见附图三、四、五）。 `-!+
２．设任意N点最大平面图满足定理A的要求。 Y9d
３．对N+1点最大平面图来说，因为设最大平面图有Ｎ个顶点时命题成立，当最大平面图有Ｎ+1个顶点时，也就是插入了一个顶点和新增了三条边：（由欧拉关于平面图的点边关系公式推论：q=3Ｎ-6而知，其中Ｎ为最大平面图的顶点数，q为最大平面图的边数） {V$y1M
a.当插入的顶点只跟3个顶点相邻时，原Ｎ点最大平面图各顶点和边保持原状不变，将新增3条边转化为新顶点的3条颜色约束线，可使命题成立； O:1tQ
b.当插入的顶点跟m+3个顶点相邻（m≥1），且邻接点回路内部各边均由一点发出时，使原N点最大平面图的各边与被约束点的关系保持不变,有且仅有m条边变为从新增点出发,新增的3条边无论从哪3点出发,均分配为新增点的约束边。此时未改变最大平面图的平面性及最大性，可使命题成立；（作以插入的顶点为内部点的一个平面嵌入，参见附图六、七） b:vd
c. 当插入的顶点跟m+3个顶点相邻，且邻接点回路内部各边不是由一点发出时（参见附图八、九、十、十一），在保持图平面性和最大性的前提下，总可以将插入点的邻接回路内部各边改由一点发出，然后对替换后的N点最大平面图进行基准三边形的指定和约束分配，并得到图三所示的插入点的邻接回路内部边的方向，理由是它们总构成Ｎ点最大平面图，应满足假设要求。然后，我们可轻易地加入插入点，仍可使命题成立。（即改造成b的条件，然后象b一样插入顶点） &
到此，可知定理A得证。 )6
由上可知，Ｎ点最大平面图各点的着色，可列一个由Ｎ－３个方程组成的方程(组)解得（见附图一），四色定理成立！当然，可能有不止一组解，因为约束一点的三条约束线可能来自相同颜色的约束点及约束分配的方案可能不止一种。据此，有一猜想： &(|6{
任意不包含Ｋn(n>3)子图的简单图，均是n-1可着色的。 $cx@<.
如果猜想成立，则四色定理是猜想n＝5的一个特例。 m
参考文献：[1] 数学猜想：数学篇/李毓佩著。北京：中国少年儿童出版社，2002 1pDQ2E
（不知道的世界）ISBN 7-5007-6271-2 0C
[2] 图论：应用数学丛书/王朝瑞编著。北京：国防工业出版社，1985 F
统一书号：15034.2757 NSCY1^
现在的数学家们为什么没有用演绎的方法证明它？不知道!更不知道有几个有思想的数学家在研究它，学而有成，若研究而没有结果，那将是他们的事业的失败，有几人愿冒险而为之？做些有规有矩的事，发些鸡毛蒜皮、无关痛痒的论文，做教授、做研究员恐怕也不是什么难事吧。何苦而为之。 WN;
我所知道的研究者，大抵都是些“江湖数学”工作者，抱着冲天的热情，大部分不知图论为何物，就一头扎入了“研究”工作中，成果吧是有的，就是除了他自己，世界上再没有人能看懂他的论文，这是一类；另一类就是死抱着五色定理的证明方法不放，一条道走到底，举者双手到处高喊：我证明四色定理啦! 我证明四色定理啦!现在，至少在我国，如果你不是数学工作者，关于难题的论文要受到认真的、严格的审查的大门基本是关闭的。 ~x}I&
还是回到问题的本身来吧，五色定理在我看来是个又老又丑、无能无用的瘪老头，是他最先娶了四色问题，它的老和无能无用就不用说啦，来说说它的丑吧：比如，有一问题，1＋2＋3＝？你怎么算都无所谓；又一问题，1＋2＋3＋。。。。。。＋10000＝?，如果有人掰着手指去算，你会说他没学数学，但他能！三角形内角和问题，还有人掰手指，不知道该说什么。在如果有人用电脑去算，你不觉得他深通阿佩尔们证明四色定理之道吗？ GX
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摘要：四色定理可用最大平面图上每个顶点仅分配三条及以下邻接边而着色的方法来证明它。 "F
关键词：图论、四色定理、最大平面图、基准三角形、数学归纳法 O_.T
四色定理的由来：１８５２年英国绘图员法兰西斯•古特里提出：为什么地图只用四种颜色就可把任意相邻的不同区域区分开来？１８７８年，英国著名数学家凯莱把这个问题公开通报给伦敦数学会的会员，起名“四色问题”，征求证明，但一直没有一个证明能站得住脚。直到１９７６年９月，美国数学会公布：阿佩尔和哈肯用３台ＩＢＭ３６０型超高速计算机运行１２００多小时，做了１００多亿个判断，终于证明了四色问题是对的；问题虽然解决了，但是争论却没有停止，不仅因为阿佩尔论文发表之后，他们就一直在忙着改错，直到１９８４年；而且，就算计算机的证明完全正确，这样“完全正确的证明”对人们关于问题的理解没有太多的帮助；所以数学家们还是想甩开计算机，仍然象过去一样，用一般的演绎方法来证明四色定理［１］； A/ /T*
后人已经证明平面地图的着色与其对偶图（平面图）的着色是等价的；即四色定理定义为：任意平面图是４可着色的［２］。 &YJ1l
定义： 8/Md#P
Ａ。颜色约束：颜色约束线（即平面图的边，用有向线表示）的出发点（约束点）对到达点（被约束点）的颜色限制：被约束点的可用颜色的集合不能包含约束点的使用颜色，即被约束点的颜色与约束点的颜色不能相同； 0h1vM
Ｂ。基准三角形：一般平面图在着色时，先补边将其转化为最大平面图，然后可任意指定其中一个三角形为基准三角形，基准三角形的三个顶点可任意着为三种不同的颜色，以便确定其他各点的颜色；基准三角形的顶点不接受基准三角形的三条边外的任何颜色约束线，它们只能发出颜色约束线； zv"Cb
四色定理的证明思路：（例子见附图一、二） (7cD&
第一．五色定理的证明及四色定理的机器证明，执行的是强行配色方案，没有揭示它们成立的深层的根本原因；下面采用软配色方案（4着色的可行性用方程组解的存在性来代替）。 ;?L`
第二．平面图可以是无向图，但在为其配色时，可先将其转化为最大平面图（即每个面均为三角形的平面图），它的所有边（除基准三角形的三条边外）可全部定义为单向的颜色约束线（虽然是单向的，它仍然可保证它的两端点的颜色是不同的）。 #!*#
第三．除基准三角形的三个顶点外，如果最大平面图任意一点均可只分配到三条颜色约束线，就可把最大平面图的边（当然除基准三角形的三条边外）全部分配完，则每个顶点仅受三个约束点约束，无论三个约束点的颜色是否相同，被约束点在四色条件下，必至少有一种颜色可用。 )
第四．最大平面图上一顶点，设它有相邻顶点m个，它必须最多仅被其中三个顶点约束其颜色，其余的顶点是它的被约束点，即顶点被约束度≤顶点的度（顶点的度=约束度+被约束度）。 `
第五．任意包含Ｋ５子图的图（包含同胚Ｋ５子图的图已非平面图，包含Ｋ５子图的图当然不是平面图），必有一顶点分配到四条或四条以上的边，而且是来自四种及以上的颜色不同的顶点的边，这里的证明方案可区分这种情况。这是利用点边数量关系式来配色的前提和基础。 y
分析到此，余下的任务就是证明： [-V|?(
定理A：最大平面图除基准三角形的三个顶点外的任意一点总能平均地分配到三条边（既颜色约束线），而且除基准三角形的三条边外的所有边都已被分配完（或者说：最大平面图任意顶点的被约束度总能同时≤3，基准三角形的三个顶点的被约束度均为0）。 .
我们让数学归纳法来发挥威力： |^br7
１．显然，最大平面图仅有４点时，定理成立（参见附图三、四、五）。 `-!+
２．设任意N点最大平面图满足定理A的要求。 Y9d
３．对N+1点最大平面图来说，因为设最大平面图有Ｎ个顶点时命题成立，当最大平面图有Ｎ+1个顶点时，也就是插入了一个顶点和新增了三条边：（由欧拉关于平面图的点边关系公式推论：q=3Ｎ-6而知，其中Ｎ为最大平面图的顶点数，q为最大平面图的边数） {V$y1M
a.当插入的顶点只跟3个顶点相邻时，原Ｎ点最大平面图各顶点和边保持原状不变，将新增3条边转化为新顶点的3条颜色约束线，可使命题成立； O:1tQ
b.当插入的顶点跟m+3个顶点相邻（m≥1），且邻接点回路内部各边均由一点发出时，使原N点最大平面图的各边与被约束点的关系保持不变,有且仅有m条边变为从新增点出发,新增的3条边无论从哪3点出发,均分配为新增点的约束边。此时未改变最大平面图的平面性及最大性，可使命题成立；（作以插入的顶点为内部点的一个平面嵌入，参见附图六、七） b:vd
c. 当插入的顶点跟m+3个顶点相邻，且邻接点回路内部各边不是由一点发出时（参见附图八、九、十、十一），在保持图平面性和最大性的前提下，总可以将插入点的邻接回路内部各边改由一点发出，然后对替换后的N点最大平面图进行基准三边形的指定和约束分配，并得到图三所示的插入点的邻接回路内部边的方向，理由是它们总构成Ｎ点最大平面图，应满足假设要求。然后，我们可轻易地加入插入点，仍可使命题成立。（即改造成b的条件，然后象b一样插入顶点） &
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由上可知，Ｎ点最大平面图各点的着色，可列一个由Ｎ－３个方程组成的方程(组)解得（见附图一），四色定理成立！当然，可能有不止一组解，因为约束一点的三条约束线可能来自相同颜色的约束点及约束分配的方案可能不止一种。据此，有一猜想： &(|6{
任意不包含Ｋn(n>3)子图的简单图，均是n-1可着色的。 $cx@<.
如果猜想成立，则四色定理是猜想n＝5的一个特例。 m
参考文献：[1] 数学猜想：数学篇/李毓佩著。北京：中国少年儿童出版社，2002 1pDQ2E
（不知道的世界）ISBN 7-5007-6271-2 0C
[2] 图论：应用数学丛书/王朝瑞编著。北京：国防工业出版社，1985 F
统一书号：15034.2757 NSCY1^