估计——一般最小方差无偏估计

- 回顾

前面一直在讲述估计量的有效性（CRLB，线性模型），而没有提到假如估计量的方差没有达到CRLB，即是有效估计量不存在，但能够求出MVU估计量（假定存在）仍然是一个重要的事（可参考文章中的图片https://blog.csdn.net/GongPF/article/details/88715517）。因此，就提出了一般MVU估计。

 

- 主要使用的概念和方法

- 充分统计量（Sufficient statistic）

- RBLS定理（Rao-Blackwwell-Lehmann-Scheffe）

 

- 理解充分统计量

- 知乎：https://www.zhihu.com/question/41367707

- 一篇不知名的不知作者的文章描述：

          

- 这里举个例子：,    估计参数 ，w[n]是WGN，则可求出样本均值是MVU估计量

                                                                    

假设，这里选择   作为估计量，那么可以看出是无偏的，它的方差要比大。 直观的理解：较差的性能是由于放弃了数据  而导致的直接结果，这些信息携带了有关要估计参数 的信息。

这样就产生了这样的问题：哪些数据与估计问题（估计参数）有关？

- 对于上述关于 估计问题，一旦知道了 ，就不需要单个的数据值，因为关于参数的所有的信息都已经包含在这个充分统计量中。详细解释如下：

考虑数据的PDF为（需要估计A）

                                             

假定已经观测到统计量T(x)                          

                                                   

这个统计量的知识将把数据的PDF改变为条件PDF，即

                                                                

由于统计量是估计参数A的充分统计量，这个条件PDF就应该与估计参数 A 无关。因此，要证明统计量是充分的，就必须确认对应的条件PDF，并且确定它与估计参数无关。如下图所示：

                        

计算条件PDF是比较难的事，所有需要一种更为简单的方法，下面就讲解Neyman-Fisher分解原理——一种寻找充分统计量的简单方法。

 

- Neyman-Fisher分解

- Neyman-Fisher 因子分解：若能将PDF 分解为

                                                        

其中 g 只是通过 T(x) 才与 x 有关的函数；而 h 只是 x 的函数，那么 T(x) 是  的充分统计量。反之，如果 T(x) 是  的充分统计量，那么数据PDF  可以分解为上式形式。

例如：考虑 ,    参数 ，w[n]~N(0,),但是参数  为估计对象。假如数据PDF的N-F分解如下

                                              

可以很明显看出，         是  的充分估计量。

 

- 联合充分统计量

- 定义：如果 m 个统计量 的条件PDF   与  无关，那么这 m 个统计量联合充分统计量。

- N-F分解：如果能够分解为

                                                   

那么 是  的充分统计量。很显然，原始数据总是充分统计量。

因为令m = N，     所有恒有g=p(x;)  h=1 。

 

- 利用充分统计量求MVU估计量（RBLS定理）

- 上面已经获取求  的充分统计量T(x)，那么就可以利用RBLS定理来求MVU估计量。

- RBLS定理

如果  是  的无偏估计量，T(x) 是  的充分统计量，那么      具有如下特性：

        i） 是  的一个适用的估计量，即是与  无关；

        ii） 是无偏的

        iii） 对于所有的  来说， 的方差要小于或等于  的方差

        iv）如果 T(x) 充分统计量是完备的，那么  是MVU估计量

- 完备统计量（Completeness statistic）

          定义1：a statistic that does not allow an unbiased estimator of zero.   

          定义2：从本质上来讲，如果只存在一个无偏统计量函数（统计量是样本的函数），那么该统计量就是完备的。

          定义3：图来源：https://wenku.baidu.com/view/e3a2df49daef5ef7bb0d3c2e.html

充分完备统计量性质：对于某个参数  的估计，假定充分统计量T(x)完备的，则存在唯一的函数 g 满足 E[g(T(x))] =  。

更多性质参考：https://wenku.baidu.com/view/e3a2df49daef5ef7bb0d3c2e.html

 

总结完备性条件： 如果对于所有待估计参数  ，它的充分统计量 T 的任何一种构造函数 v(T) ,只对零函数即v(T)=0（对所有的T）满足下面条件

                                                                    

那么，就说充分统计量是完备的。

 

- 解题思路（针对不知道MVU估计量时的参数估计问题）

1、利用R-F因子分解来求一个 估计参数  的充分统计量 T(x)。

2、确定充分统计量是否完备。如果是，继续往下处理；否者这个方法就不能使用。

3、求一个充分统计量的函数，以此来得到一个无偏估计量 。那么，  是MVU估计量。

                 步骤3 可亦采用另一种方法

3‘、计算  ,其中  是任意的无偏估计量。（实际中，条件期望计算复杂，视情况选择方法）