【嵌入式底层知识修炼】高性能的ADC一阶滞后滤波算法

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越有魅力的事物，往往存在一种“反差”，即其存在两个相互关联的特性，但是各自表现得十分不同

————小白

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  一阶滞后滤波又称作RC低通滤波、一阶滤波、一阶惯性滤波、一阶低通滤波等，下文统一称为一阶滞后滤波。

01 - 一阶滞后滤波算法简介

  嵌入式中的ADC数字滤波算法有很多，搜索一下会有常用的10种算法，一阶滞后滤波是其中一种，也是大名鼎鼎的一种，在这10种算法中，虽然一直有人评论其各有优缺点，各有使用场合，但是如果在条件十分受限的实际嵌入式项目中让我选择一种，即使知道或不知道数据源的特性，我都会毫不犹豫地选择一阶滞后滤波算法，数学算法公式为：
$$Y_n=\alpha X_n+(1-\alpha )Y_{n-1}\text{\hspace{1em}(1)}$$
  式中：$Y_n$是本次滤波输出值，$\alpha$是滤波系数，$X_n$是本次采样，$Y_{n-1}$是上一次滤波输出。
  公式十分简单，只有乘、加的操作并且只有一条计算公式，没有额外的数据计算。

02 - 硬件低通滤波器

  下图为一阶滞后滤波所对应的硬件低通滤波器等效电路，其中：

• Input相当于于$X_n$：作为信号源的输入
• Output相当于$Y_n$：作为目标信号的输出
• 电阻相当于$\alpha$：作为滤波系统，设计实验测试阶段可调
• 电容相当于$Y_{n-1}$：用于储存上一次的输出值

  如果在原理图中看到类似的结构，可以认为添加了硬件低通滤波器，此等效电路算是比较简单的一种，还有比较复杂的需要有三极管等电子元件。

03 - 稳定滤波的原理

  滤波的目标是过滤掉数据的各种干扰，得到期望的稳定值，使得系统收敛。下面用坐标轴对公式作一个解释，$x$轴作为时间Time，$y$轴作为AD值Value，AD采集过程中我们能够得到一段采集的数据输入输出记录：

  就$x$轴某一个时刻$T$而言，我们只能得到当前时刻$T$的输入值Input和前面时刻的$(T-1，T-2，\dots \dots 1)$输出值Output，我们把当前时刻得到的输入值记为$X_n$，紧挨着的上一个时刻的输出值记为$Y_{n-1}$。滤波的目标是得到一个稳定值，何为稳定？什么样的值是稳定的？在不同时刻是否不同？根据一阶滞后滤波算法，如果要回答这些问题，无论如何我们只能假设在上一个时刻的输出值$Y_{n-1}$是稳定值。

因为除开第一个数据，所有数据都有前驱，当前值的滤波与前驱有关，那么随着时间的推移，所有的数据历史会形成一个链条，相邻的项是有联系的，因此只要某个时刻的值发生了变化，那么后面的值都会随之变化，如果我们限定了这些变化的敏感度（与α有关），比如降低敏感度，那么在一个有限的波形内由于变化不敏感，就会过滤掉波动的数据，得到一个认为是收敛的值

  根据假设，因为$Y_{n-1}$是稳定值，所以$X_n$与它存在一个误差$e$，也就是：
$$X_n=Y_{n-1}+e\text{\hspace{1em}(2)}$$
  其中$e$可正可负，我们代入公式（1）得到：
$$\begin{array}{rl}{Y}_n=& \alpha X_n+(1-\alpha )Y_{n-1}\\ =& \alpha (Y_{n-1}+e)+(1-\alpha )Y_{n-1}\\ =& \alpha Y_{n-1}+\alpha e+Y_{n-1}-\alpha Y_{n-1}\\ =& \alpha e+Y_{n-1}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
  原理就在这个公式里面，因为我们假设$Y_{n-1}$是稳定值，因此当前时刻$T$的输出$Y_n$就取决于滤波系数$\alpha$和误差$e$，而滤波系数$\alpha$一般为固定值：
  当趋向于0，$\alpha \to 0$，$Y_n=e\cdot O(0)+Y_{n-1}$ ，多数情况下$\alpha \cdot |e|\le 0.5$，根据C语言的四舍五入，这个误差会被忽略，这就是降低敏感度，稳定数据，系统收敛性明显，但是数据的变化会滞后，因为需要一个较大的误差才能让$Y_n$发生变化。

  当趋向于1，$\alpha \to 1$，$Y_n=e\cdot O(1)+Y_{n-1}$，多数情况下$\alpha \cdot |e|\ge 0.5$，根据C语言的四舍五入，这个误差会被记录并且马上反应，这就是升高敏感度，实时反映数据波动，系统收敛性不明显，数据并不稳定。

  由C语言中四舍五入可知，需要$\alpha \cdot |e|\ge \frac{1}{2}$的时候，$Y_n$才会变化，也就是当$\alpha \cdot |e|<0.5$的时候不变化，解不等式得到$e\in (-\frac{1}{2a}，\frac{1}{2a})$，代入（2）式，得到AD值的稳定和变化范围：
$$Y_n=\{\begin{array}{lrcc}{Y}_{n-1}& :& (Y_{n-1}-\frac{1}{2a})<X_n<(Y_{n-1}+\frac{1}{2a})& \\ X_n+[\alpha \cdot e]& :& X_n\in \text{Others}，[x]代表对x四舍五入& \end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
  对于一个上一次的输出值$Y_{n-1}$，如果当前时刻的输入值$X_n\in （Y_{n-1}-\frac{1}{2a}，Y_{n-1}+\frac{1}{2a}）$，都将都被认为是$Y_{n-1}$，必须有一个较大的误差$e$才能让$Y_n$发生变化，这就是滞后的意思。

04 - 实际应用与变形

  嵌入式的实际应用会根据实际情况作相应的变形和改变，以下只举一个例子，体验一阶滞后滤波的实际应用。
  场景：一个电控盆栽，有ARM逻辑主板+8051辅助板，8051系列的单片机作为盆栽的辅助板，需要采集温度传感器的AD值，反馈给主板作处理。

  分析：盆栽一般放置在家庭中，环境温度在一大段时间内一般都是稳定的（比如上午、下午、晚上），而且温度是线性变换的，不会出现突变的情况，因此系统需要的是一个稳定的AD值，不允许环境温度没有有效变化的时候AD值却在波动，因此降低滤波系数$\alpha$，降低敏感度，使得系统收敛，稳定数据。
  问题：8051系统的芯片处理浮点数非常吃力，不能让系统浪费在这些时间上。
  解决：不作浮点数处理，把滤波系数$\alpha$平移到整数范围内，也就是扩大$K$倍，整个公式变形为：
$$\begin{array}{rl}\text{原来}：Y_n=& \alpha X_n+(1-\alpha )Y_{n-1}\\ \text{变形}：Y_n=& \frac{\alpha X_n+(K-\alpha )Y_{n-1}}{K}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
  除法也是会占用很多CPU资源，不过我们可以把$K$定为2的幂次方，除法就可以轻松转成位移运算：
$$Y(n)=（\alpha X_n+(K-\alpha )Y_{n-1}）>>lo{g}_{2}K\text{\hspace{1em}(7)}$$
  （7）式就是最终公式，定好$K$和$\alpha$后，就可以编程实现了，比如$K=128，\alpha =8$，那么：
$$Y_n=（8\cdot X_n+120\cdot Y_{n-1}）>>7$$
  对应的编程代码：

extern uint32_t LastValue;
uint32_t ADC_filter(uint32_t CurrValue)
{
	uint32_t tmp = (8 * CurrValue + 120 * LastValue) >> 7;
	LastValue = tmp;
	return LastValue;
}

  公式只有整数的乘法、加法和位移运算，这些运算在8051单片机系列中的消耗是可以接受的（不到万不得已，不会用浮点数和除法运算）。

05 - 滤波效果展示

  选取上述公式，并代入随机值，这些随机值都认为是各种干扰因素造成的波动，也就是实际的ADC数据理应不变：
$$Y_n=（8\cdot X_n+120\cdot Y_{n-1}）>>7$$

  系列1蓝色线为随机值，模拟干扰因素的波动，系列2红色线为滤波后的数据，能够观察到，因为我们定的滤波系数$\alpha$较小，因此会降低敏感度，在源数据从64突然跳变到70的时候，滤波得到的值也是不变的，可以稍微提高滤波系数，比如$\alpha =32$，再看一下滤波效果：

  在这个实验中，充分能够看到一阶滞后滤波中滞后的过程，在源数据蓝色线波动后，滤波结果红色线并不是马上跟随波动，而是滞后一段时间，需要源数据和上一次的滤波输出值有较大差别的时候才进行变化。

06 - 高性能的表现

  一阶滞后滤波的高性能表现在：

• 易于实现：2-3句代码就能实现。
• 适应性强：公式变形简单，可应用在很多场合内。
• 运算简单：一条公式，几个基本运算符，计算速度也快。
• 可调属性：能够轻易调整收敛速度和敏感性，而且调节的范围参考。

  以上4点可以作为和其它滤波算法作比较的点，对比的实验会在另一篇博客中，期待下一篇。

07 - 总结

• 一阶滞后滤波公式：$Y_n=\alpha X_n+(1-\alpha )Y_{n-1}$，可适当变形
• AD值的稳定和变化范围：
  $Y_n=\{\begin{array}{lrcc}{Y}_{n-1}& :& (Y_{n-1}-\frac{1}{2a})<X_n<(Y_{n-1}+\frac{1}{2a})& \\ X_n+[\alpha \cdot e]& :& X_n\in \text{Others}，[x]代表对x四舍五入& \end{array}$
• 高性能的表现在：易于实现、适应性强、运算简单、可调属性