考研数学之高等数学知识点整理——4.导数与微分

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四、导数与微分

1 导数的定义

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{△y}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+△x)-f(x_0)}{△x}$$
也可记作$y^{\prime }{|}_{x=x_0}$，$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$，或$\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$。

2 微分的定义

若$△y=A△x+o(△x)$，则$dy=A△x$。

3 可导、可微与连续三者之间的关系

f(x)在x₀可导 ⟺ f(x)在x₀可微 ⟹ f(x)在x₀连续

4 导数的计算

4.1 基本初等函数的导数公式

• $(C{)}^{\prime }=0$
• $(x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}$
• $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
• $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
• $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$
• $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$
• $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$
• $(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$
• $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$
• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
• $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$
• $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
• $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
• $(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
  

4.2 函数的和、差、积、商的求导法则

设u=u(x)，v=v(x)都可导，则

• $(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime }$
• $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
• $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
• $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2},v̸=0$
  

4.3 反函数的求导法则

设x=f(y)在区间I_y内单调，可导且f’(y)≠0，则它的反函数y=f^-1在区间I_x=f(I_y)内也可导，且$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}$，或$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}y}$。

4.4 复合函数的求导法则

设y=f(u)，u=g(x)，且f(u)及g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))的导数为$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$或$y^{\prime }(x)=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$。

5 高阶导数公式

• $(a^x{)}^{(n)}=a^x(\ln a{)}^n(a>0),(e^x{)}^{(n)}=e^x$
• $(\sin kx{)}^{(n)}=k^n\sin (kx+\frac{n\pi }{2})$
• $(\cos kx{)}^{(n)}=k^n\cos (kx+\frac{n\pi }{2})$
• $[\ln (1+x){]}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x{)}^n}$
• $(x^m{)}^{(n)}=m(m-1)\cdot \cdot \cdot (m-n+1)x^{m-n}$
• Leibniz公式：若u(x),v(x)均n阶可导，则
  $$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{\mathrm{C}}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$$