用 Matlab 实现 GS 算法设计计算全息图

1 全息术以及计算全息

• 什么是全息术
  全息是利用干涉和衍射原理记录并再现物体光波波前的一种技术，也称为全息术、全息照相、全息照相技术。全息术利用干涉和衍射原理，把物光波以干涉条纹的形式记录下来，在一定条件下使其衍射再现，成与原物体相似的三维图像。全息照相把物光波的强度分布和位相分布都完整的记录下来，即是记录了物体的全部信息（而普通照相只能记录物光波的强度分布）。
  全息术由丹尼斯·盖伯于1948年提出，随后用实验证实这一想法，并制成世界上第一张全息图。盖伯本来是为提高电子显微镜的分辨率而提出的设想,虽然未能用电子波证实其原理,但用可见光证实了。

• 全息术的发展历程

阶段	特征	优缺点	主要成就
第一阶段	汞灯记录，同轴全息	缺点：无相干光源，衍射像无法分离	提出全息术
第二阶段	激光记录，激光再现	优点：相干光源 缺点：图像无色彩	离轴全息
第三阶段	激光记录，白光再现	优点：相干光源，有色彩	像全息，彩虹全息，模压全息
第四阶段	白光记录，白光再现	优点：条件放宽，更加实用	研究阶段

• 计算全息
  计算全息术是全息术的一个重要分支。六十年代初全息术开始发展后不久，计算全息术即随之出现。它与一般全息术（光学全息）的区别主要在于：全息记录与再现过程的一部分由计算机取代。根据所取代部分的不同，又可分为计算机产生的全息图和全息图的计算机再现两种，通常都简称为计算全息。

2 GS算法

• 什么是GS算法
  如图所示，光源经过衍射元件 A，叠加 A 的相位 φ，经过傅里叶变换，得到右侧上半部分的模糊笑脸图案，我们的目的要使得到的图案接近右下笑脸，GS算法的目的就是计算出我们要叠加的相位 φ。要实现这一目的，我们去除经傅里叶变换得到图像的振幅，以目标图像振幅代替，进行逆傅里叶变换得到相位 φ，以此循环，最终得到想要的位相图 φ。

• GS算法流程
  具体步骤如下：选择初始复振幅分布$g_0(x,y)=\left|f(x,y)\right|exp\left[j\theta (x,y)\right]$，其中$\left|f(x,y)\right|$，为所预设衍射图案振幅分布，$\theta (x,y)$为$\left[0\sim 2\pi \right]$范围随机分布函数。在第 N 次迭代时，对分布$g_j(x,y)$进行逆傅里叶变换，令振幅部分为单位1，由此得到新分布函数。之后再进行傅里叶变换，得到$\overline{g_j}(x,y)$，令$\left|\overline{g_{j+1}}(x,y)\right|=\left|f(x,y)\right|$，由此得到经过一次迭代后的值，同时将其作为下一次迭代的初始分布。
  重复上述迭代过程，直到迭代精度达到事先设定的迭代退出条件：迭代的结果达到设定的精度或者达到最大迭代次数，最后得到的位相分布$\overline{G_j(\xi ,\eta )}$，即所设计的衍射元件位相分布。

• GS算法的改进
  GS算法编程简单，但其收敛速度与精确度对初始条件的选取比较敏感，且容易陷入局部最优问题。因此，Fienup 等在GS算法的基础上提出了一种改进算法，这种算法对重建的光场分布$\overline{g_j}(x,y)$进行处理时增加了反馈过程，从而达到快速收敛目的。
  在第 j 次迭代时，定义${\overline{g_j}(x,y)}^{\prime }$为目标分布函数$\left|f(x,y)\right|$与实际重建光分布$\overline{g_j}(x,y)$的差值，即${\overline{g_j}(x,y)}^{\prime }=\left|f(x,y)\right|-\overline{g_j}(x,y)$，然后引入反馈参量$k\in \left[0,1\right]$，将下一次迭代的初始振幅分布设为$\left|f(x,y)\right|+{\overline{g_j}(x,y)}^{\prime }k$。
  这样做的优点是在第 j 次迭代过程中，无论重建光场分布与预设分布误差如何，都能使最终重建光场分布快速收敛于预设值。

3 Matlab程序设计

3.1 位相型全息图

• 实验用图

• 程序代码

%第一步：抽样
image0 = imread('Hepburn.jpg');
%转为灰度图（若已为灰度图则忽略）
%image0 = rgb2gray(image0);
image0 = im2double(image0);
[M,N] = size(image0);

%输出原图
figure;
subplot(2,2,1);
imshow(image0);
title('原图')

%加入随机位相信息
PI = 3.14159;
image1 = image0;
phase = 2i*PI*rand(M,N);
image1 = image1.*exp(phase);

%输出随机位相图
subplot(2,2,2);
imshow(image1);
title('随机位相图');

%第二步：计算编码
%第一次逆傅里叶变换
image2 = ifft2(ifftshift(image1));

%迭代过程
for t=1:1:1000
    %迭代判据
    imgangle = angle(image2);                       %取位相
    image = exp(1i*imgangle);
    image = fftshift(fft2(image));                  %还原
    imgabs = abs(image)/max(max(abs(image)));
    sim = corrcoef(image0,imgabs);                  %取相关系数
    if sim(1,2) >= 0.9995
        %满足条件，跳出循环
        break
    else
        %开始迭代
        %单位振幅
        imgangle = angle(image2);
        image2 = exp(1i*imgangle);

        %正傅里叶变换
        image3 = fftshift(fft2(image2));

        %赋反馈振幅
        imgabs = abs(image3)/max(max(abs(image3)));
        imgangle = angle(image3);
        image3 = exp(1i*imgangle);
        image3 = image3.*(image0+rand(1,1)*(image0-imgabs));

        %逆傅里叶变换
        image2 = ifft2(ifftshift(image3));
        
    end
end

%第三步：输出位相全息图
%取位相
imgangle = angle(image2);                       
image4 = exp(1i*imgangle);

%还原
image4 = fftshift(fft2(image4));                          
imgabs = abs(image4)/max(max(abs(image4)));

%存储位相全息图
imgangle = (imgangle+PI)/(2*PI);
imwrite(imgangle,'Hepburn.jpg')

%输出位相全息图
subplot(2,2,3);
imshow(imgangle);
title('位相全息图')

%输出还原图
subplot(2,2,4);
imshow(imgabs);
title('还原图')

• 过程输出图

3.2 振幅型全息图

• 实验用图

• 程序代码

%第一步：抽样
image0 = imread('Ironman.jpg');
%转为灰度图（若已为灰度图则忽略）
image0 = rgb2gray(image0);
image0 = im2double(image0);
[M,N] = size(image0);

%输出原图
figure;
subplot(2,2,1);
imshow(image0);
title('原图')

%加入随机位相信息
PI = 3.14159;
image1 = image0;
phase = 2i*PI*rand(M,N);
image1 = image1.*exp(phase);

%输出随机位相图
subplot(2,2,2);
imshow(image1);
title('随机位相图');

%第二步：计算编码
%第一次逆傅里叶变换
image2 = ifft2(ifftshift(image1));

%迭代过程
for t=1:1:1000
    %迭代判据
    imgangle = angle(image2);                       %取位相
    image = exp(1i*imgangle);
    image = fftshift(fft2(image));                  %还原
    imgabs = abs(image)/max(max(abs(image)));
    sim = corrcoef(image0,imgabs);                  %取相关系数
    if sim(1,2) >= 0.9995
        %满足条件，跳出循环
        break
    else
        %开始迭代
        %单位振幅
        imgangle = angle(image2);
        image2 = exp(1i*imgangle);

        %正傅里叶变换
        image3 = fftshift(fft2(image2));

        %赋反馈振幅
        imgabs = abs(image3)/max(max(abs(image3)));
        imgangle = angle(image3);
        image3 = exp(1i*imgangle);
        image3 = image3.*(image0+rand(1,1)*(image0-imgabs));

        %逆傅里叶变换
        image2 = ifft2(ifftshift(image3));
        
    end
end

%第三步：输出振幅全息图
%取实部
imgreal = real(image2);                       
image = mat2gray(imgreal);

%还原
image4 = fftshift(fft2(imgreal));                          
imgabs = abs(image4)/max(max(abs(image4)));

%输出位相全息图
subplot(2,2,3);
imshow(image);
title('振幅全息图')

%输出还原图
subplot(2,2,4);
imshow(imgabs);
title('还原图')

%保存振幅全息图
imwrite(image,'Ironman.bmp')

• 过程输出图