原题链接:https://loj.ac/problem/2361
组合数表示的是从 n n n 个物品中选出 m m m 个物品的方案数。举个例子,从 (1,2,3) (1, 2, 3) (1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2) (1, 2) (1,2),(1,3) (1, 3) (1,3),(2,3) (2, 3) (2,3) 这三种选择方法。
根据组合数的定义,我们可以给出计算组合数的一般公式:
C n m = n ! m ! ( n − m ) ! C_n ^ m = \frac{n!}{m!(n - m)!} Cnm=m!(n−m)!n!
其中 n ! = 1 × 2 × ⋯ × n n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n n!=1×2×⋯×n。
小葱想知道如果给定 n n n, m m m和 k k k,对于所有的 0 ≤ i ≤ n 0 \leq i \leq n 0≤i≤n, 0 ≤ j ≤ min ( i , m ) 0 \leq j \leq \min(i, m) 0≤j≤min(i,m)有多少对 ( i , j ) (i, j) (i,j)满足 C i j C_i ^ j Cij是 k k k的倍数。
第一行有两个整数 t t t, k k k,其中 t t t代表该测试点总共有多少组测试数据, k k k的意义见 「题目描述」。
接下来 t t t行每行两个整数 n n n, m m m,其中 n n n, m m m的意义见「题目描述」。
t t t行,每行一个整数代表所有的 0 ≤ i ≤ n 0 \leq i \leq n 0≤i≤n, 0 ≤ j ≤ min ( i , m ) 0 \leq j \leq \min(i, m) 0≤j≤min(i,m)有多少对 ( i , j ) (i, j) (i,j)满足 C i j C_i ^ j Cij是 k k k的倍数。
1 2
3 3
1
2 5
4 5
6 7
0
7
3 ≤ n , m ≤ 2000 , 2 ≤ k ≤ 21 , 1 ≤ t ≤ 10000 3 \leq n, m \leq 2000, 2 \leq k \leq 21, 1 \leq t \leq 10000 3≤n,m≤2000,2≤k≤21,1≤t≤10000
n , m n,m n,m这么小,模数又是随便给的,自然想到 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)预处理组合数。
只有模意义下为 0 0 0的项才有贡献,于是我们把每个项的贡献推出来,再 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)做两次前缀和,就能完美统计了。
#include
using namespace std;
const int M=2005;
int C[M][M],t,k;
void in(){scanf("%d%d",&t,&k);}
void ac()
{
for(int i=0,j;i<=2000;++i)for(C[i][0]=j=1;j<=i;++j)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%k;
for(int i=0;i<=2000;++i)for(int j=0;j<=i;++j)C[i][j]=C[i][j]==0;
for(int i=1;i<=2000;++i)for(int j=0;j<=2000;++j)C[i][j]+=C[i-1][j];
for(int i=0;i<=2000;++i)for(int j=1;j<=2000;++j)C[i][j]+=C[i][j-1];
for(int i=1,n,m;i<=t;++i)scanf("%d%d",&n,&m),printf("%d\n",C[n][m]);
}
int main(){in(),ac();}