LOJ2361「NOIP2016」组合数问题

原题链接：https://loj.ac/problem/2361

组合数问题

题目描述

组合数表示的是从 n n n 个物品中选出 m m m 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3) (1, 2, 3) (1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2) (1, 2) (1,2)，(1,3) (1, 3) (1,3)，(2,3) (2, 3) (2,3) 这三种选择方法。

根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$​

其中$n!=1\times 2\times \cdots \times n$。

小葱想知道如果给定$n$，$m$和$k$，对于所有的$0\le i\le n$，$0\le j\le \min (i,m)$有多少对$(i,j)$满足$C_i^j$是$k$的倍数。

输入格式

第一行有两个整数$t$，$k$，其中$t$代表该测试点总共有多少组测试数据，$k$的意义见 「题目描述」。

接下来$t$行每行两个整数$n$，$m$，其中$n$，$m$的意义见「题目描述」。

输出格式

$t$行，每行一个整数代表所有的$0\le i\le n$，$0\le j\le \min (i,m)$有多少对$(i,j)$满足$C_i^j$是$k$的倍数。

样例

样例输入 1

1 2
3 3

样例输出 1

1

样例输入 2

2 5
4 5
6 7

样例输出 2

0
7

数据范围与提示

$3\le n,m\le 2000,2\le k\le 21,1\le t\le 10000$

题解

$n,m$这么小，模数又是随便给的，自然想到$O(n^2)$预处理组合数。

只有模意义下为$0$的项才有贡献，于是我们把每个项的贡献推出来，再$O(n^2)$做两次前缀和，就能完美统计了。

代码

#include
using namespace std;
const int M=2005;
int C[M][M],t,k;
void in(){scanf("%d%d",&t,&k);}
void ac()
{
	for(int i=0,j;i<=2000;++i)for(C[i][0]=j=1;j<=i;++j)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%k;
	for(int i=0;i<=2000;++i)for(int j=0;j<=i;++j)C[i][j]=C[i][j]==0;
	for(int i=1;i<=2000;++i)for(int j=0;j<=2000;++j)C[i][j]+=C[i-1][j];
	for(int i=0;i<=2000;++i)for(int j=1;j<=2000;++j)C[i][j]+=C[i][j-1];
	for(int i=1,n,m;i<=t;++i)scanf("%d%d",&n,&m),printf("%d\n",C[n][m]);
}
int main(){in(),ac();}