投影矩阵与最小二乘（二）

咱们继续说最小二乘的故事，因为Strang把这些东西以一种非常直观的形式串联起来，使我迫不及待地想写一些心得

在上回，我们得到了一个十分重要的东西，投影矩阵：

p = A(A'A)-1A'

我们依然以在（一）中的那张投影图为例，b在平面上的投影是p，如果b垂直于C(A)，那么b就在A的左零空间里，即Pb = 0。如果b本身就在A的列空间里，那么有Ax = b和Pb = b。我们简要推导下上面的过程：

1）对于b垂直于C(A)：

因为N(A')垂直于C(A)，所以b在N(A')，Pb = A(A'A)-1A'b = 0（红色的部分为0）

2）对于b在C(A)里：

b = Ax, Pb = A(A'A)-1A'Ax = Ax = b

然而，我们要解决的是更一般的情况：b 不属于上述任何两种情况之一，也就是b在C(A)（记为p）里和N(A')（记为e）的投影不是它本身，我们有：

p + e = b。而通过之前介绍的关于投影的知识，我们可以得到p = Pb，所以有：

Pb + e = bI，e = (I - P)b。

我们再次回到（一）的结尾的那个例子：

写成矩阵形式Ax = b: *

我们可以从两方面来看待*式的意义：

1）我们寻求这样一条直线，这三个点这条直线的垂直距离分别为e1, e2, e3.我们要寻求的直线使得e1, e2, e3的平方和最小，这就是线性回归问题；

2）我们把b看成是R3空间里的一个向量，它在A的列空间的投影是p，在N(A')的投影是e，我们现在的任务就是寻求一个x hat和p，使得满足:

这就是我们在（一）中所说的投影矩阵的问题，它擅长于处理Ax = b无解的情况

将A展开代入，得到正则方程：

解这个方程是很简单的，最后我们得到直线的方程：

我们把给定值，拟合值，误差统计一下，列出下面这个表：

我们注意到这里p与e垂直，实际上e垂直于C(A)。

这是很显然的，因为在这一部分的开头我们就作了解释：e在N(A')里，由于N(A')垂直于C(A)，所以e垂直于C(A)。

最小二乘讲到这里似乎已经说完了，但是有一个问题，那就是我们所利用的投影矩阵p = A(A'A)-1A'这里我们假定A'A是可逆的，这种假定合理吗？Strang在最后给我们作了解答：

If A has independent columns, then A'A is invertible .

他是这样证明这个问题的：并没有直接证明，而是通过证明若A'Ax = 0， 则x = 0来间接证明A'A可逆。

好了，我们现有假设有A'Ax = 0，并且我们使用了一个小技巧(TRICK)：

x'A'Ax = x'0

(Ax)'Ax = 0

Ax = 0，由于A的列向量相互独立，因为由Ax = 0我们得到x只能是0，这样就把这个问题解决了。

当然，这里还要提到一个关系：标准正交（orthonormal）。如果一个矩阵的列向量是标准正交向量组，那么A的列向量一定线性无关。

写到这里，我想有必要总结一下，为什么最小二乘和投影矩阵要扯到一起，它们有什么联系：

最小二乘是用于数据拟合的一个很霸气的方法，这个拟合的过程我们称之为线性回归。如果数据点不存在离群点（outliers），那么该方法总是会显示其简单粗暴的一面。我们可以把最小二乘的过程用矩阵的形式描述出来，然而，精妙之处就在于，这与我们的投影矩阵的故事不谋而合，所以，我们又可以借助于投影矩阵的公式，也就是

A'Ax = A'b来加以解决。

当然，话虽如此，但是这个故事还没完，欲知后事如何，请看下回分解