卡特兰数(Catalan number)

定义

1.卡特兰数是一种数列，以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰命名。
2.卡特兰数列：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012……

公式

1. 令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推公式
   ：
   h(n)= h(0)h(n - 1) + h(1)h(n-2) + ... + h(n - 1)h(0) (n≥2) 【1】
   例如：
   h(2)=h(0)h(1) + h(1)h(0)=1·1 + 1·1=2
   h(3)=h(0)h(2) + h(1)h(1) + h(2)h(0)=1·2 + 1·1 + 2·1=5
2. 项与项之间递推式
   h(n)=h(n - 1)(4·n - 2)/(n + 1)（n≥1） 【2】
3. 组合公式
   h(n)=C(2n,n)/(n + 1)=C(2n,n) - C(2n,n - 1)(n≥0) 【3】

公式理解

将递推公式【1】转化成给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树问题。
将二叉树分为左子树和右子树以及根节点，已知根节点需要1个节点数，令i（i h(i)·h(N - i - 1)即第i(0≤i≤N-1)种情形，又因为i的取值范围为[0,N-1],所以得：
h(n)= h(0)h(n - 1) + h(1)h(n-2) + ... + h(n - 1)h(0) (n≥2)【1】。
当N=3时的二叉树种类：

3个节点的二叉树

将递推公式【3】转化为01排列问题，有n对01排成一个序列，从左往右统计该序列0和1的个数，1的个数小于等于0的个数即视为合法序列。
将n个0放入2n个位置上有C(2n,n)个组合情况为全排列情形，再减去不合法序列即为卡特兰数。
例如：
001101为一合法序列
011010为不合法序列（异常位为3）
经分析得知不合法序列的异常位总会出现在奇数位。
假设异常位为2i+1(0≤i011101）由此可知2n的序列中有n-1个0，n+1个1，将n-1个0放入2n个位置上则有C(2n,n-1)个组合情况，该排列即为不合法情形。
所以可得：h(n)=C(2n,n)/(n + 1)=C(2n,n) - C(2n,n - 1)(n≥0) 【3】

例题：

1. n对括号匹配问题：

题目：

给出n对括号，问有多少种正确排列方式？

问题分析

当n为3时代表有3对括号，用0代表'（'，用1代表'）'
比如010011对应着
（）（（））
000111对应着
（（（）））
反之若101010对应着（不符合的情形）
）（）（）（
问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。

2. 高矮排列问题：

题目：

12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？

问题分析：

我们先把这12个人从矮到高放入队列（0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11）,然后依照出队的次序选择6个人排在第一排,另外6个排在第二排。用0表示将队列的第一人放在第一排,用1表示表示将队列的第一人放在第二排。那么一个含有6个0,6个1的序列就对应一种方案.
比如000000111111就对应着
第一排：0 1 2 3 4 5
第二排：6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排：0 2 4 6 8 10
第二排：1 3 5 7 9 11
反之若101010101010就对应着（不符合的情形）
第一排：1 3 5 7 9 11
第二排：0 2 4 6 8 10
问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。

...0
.
.
.
0

。。