拓扑排序的原理及实现
拓扑排序，顾名思义，就是一种排序方法。这是一种什么排序？这种排序的作用？然后怎么去实现这种排序算法？现在就让我们仔细研究下。
1、什么是拓扑排序，也就是拓扑排序的概念
实际上，拓扑排序是一种图论算法，该算法在《数据结构与算法》一书中有涉猎。引用维基百科的定义：
在图论中，由一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足下列条件时，称为该图的一个拓扑排序（英语：Topological sorting）。
（1）每个顶点出现且只出现一次；
（2）若A在序列中排在B的前面，则在图中不存在从B到A的路径。
也可以定义为：拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序中B出现在A的后面。
是不是觉得看完概念还是很晕的感觉，下面就用一个实例来讲具体的拓扑排序样例。
（a）有向图网（AOV） （b）输出v6后 （c）输出v1后 （d）输出v4后 （e）输出v3后 （f）输出v2后
输出排序结果：v6-v1-v4-v3-v2-v5
此拓扑排序的思想是：
（1）从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出之；
（2）从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧；
重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。没有前驱 – 入度为零，删除顶点及以它为尾的弧– 弧头顶点的入度减1。
何谓入度？
我觉得得先明白什么是度？度（Degree）：一个顶点的度是指与该顶点相关联的边的条数，顶点v的度记作d(v)。
入度：对于有向图来说，一个顶点的度可细分为入度和出度。一个顶点的入度是指与其关联的各边之中，以其为终点的边数。
出度：出度则是相对的概念，指以该顶点为起点的边数。
以v6这个顶点为例，它的入度为0，出度为2。
以v5这个顶点为例，它的入度为3，出度为0。
以v4这个顶点为例，它的入度为2，出度为1。
以v3这个顶点为例，它的入度为1，出度为2。
以v2这个顶点为例，它的入度为2，出度为0。
以v1这个顶点为例，它的入度为0，出度为3。
经验证，一个有向五环图中所有顶点的入度之和(0+3+2+1+2+0=8)等于所有顶点的出度之和(2+0+1+2+0+3=8)。
2、拓扑排序的作用
不禁有人就问了，有很多排序算法啊，快速排序，插值排序，这个排序到底有什么优点呢？平常这种排序又用于哪种场景呢？
我们说快速排序是不稳定的，这是因为最后的快排结果中相同元素的出现顺序和排序前不一致了。如果用偏序的概念可以这样解释这一现象：相同值的元素之间的关系是无法确定的。因此它们在最终的结果中的出现顺序可以是任意的。而对于诸如插入排序这种稳定性排序，它们对于值相同的元素，还有一个潜在的比较方式，即比较它们的出现顺序，出现靠前的元素大于出现后出现的元素。因此通过这一潜在的比较，将偏序关系转换为了全序关系，从而保证了结果的唯一性。而拓扑排序就是一种将偏序转换为全序的一种算法。
这里要补充两个概念，偏序和全序？
偏序：有向图中两个顶点之间不存在环路，至于连通与否，是无所谓的。
全序：就是在偏序的基础之上，有向无环图中的任意一对顶点还需要有明确的关系(反映在图中，就是单向连通的关系，注意不能双向连通，那就成环了)。
意思就是讲，一个不确定的偏序关系经全序后就有一种确定的先后顺序了。
既然有先后，那么在实际生活中的选课问题，比如大一时一定要修完这门课，大二才学第二门课，这种排课问题就是拓扑排序问题。
3、用C++实现拓扑排序算法
实例1：
- <span style=“font-family:Comic Sans MS;”>#include<iostream>
- #include<cmath>
- #include<cstdio>
- #include<algorithm>
- #include<stack>
- #include<memory.h>
- using namespace std;
- #define MAX 9999
- stack<int>mystack;
- int indegree[MAX];
- struct node
- {
- int adjvex;
- node* next;
- }adj[MAX];
- int Create(node adj[],int n,int m)//邻接表建表函数，n代表定点数，m代表边数
- {
- int i;
- node *p;
- for(i=1;i<=n;i++)
- {
- adj[i].adjvex=i;
- adj[i].next=NULL;
- }
- for(i=1;i<=m;i++)
- {
- cout<<“请输入第”<<i<<“条边:”;
- int u,v;
- cin>>u>>v;
- p=new node;
- p->adjvex=v;
- p->next=adj[u].next;
- adj[u].next=p;
- }
- return 1;
- }
- void print(int n)//邻接表打印函数
- {
- int i;
- node *p;
- for(i=1;i<=n;i++)
- {
- p=&adj[i];
- while(p!=NULL)
- {
- cout<<p->adjvex<<‘ ’;
- p=p->next;
- }
- cout<<endl;
- }
- }
- void topsort(node adj[],int n)
- {
- int i;
- node *p;
- memset(indegree,0,sizeof(indegree));
- for(i=1;i<=n;i++)
- {
- p=adj[i].next;
- while(p!=NULL)
- {
- indegree[p->adjvex]++;
- p=p->next;
- }
- }
- for(i=1;i<=n;i++)
- {
- if(indegree[i]==0)
- mystack.push(i);
- }
- int count=0;
- while(mystack.size()!=0)
- {
- i=mystack.top();
- mystack.pop();
- cout<<i<<‘ ’;
- count++;
- for(p=adj[i].next;p!=NULL;p=p->next)
- {
- int k=p->adjvex;
- indegree[k]–;
- if(indegree[k]==0)
- mystack.push(k);
- }
- }
- cout<<endl;
- if(count<n)cout<<“有回路”<<endl;
- }
- int main()
- {
- int n;
- int m;
- cout<<“请输入顶点数及边数:”;
- cin>>n>>m;
- Create(adj,n,m);
- cout<<“输入的邻接表为:”<<endl;
- print(n);
- cout<<“拓扑排序结果为:”<<endl;
- topsort(adj,n);
- system(“pause”);
- return 0;
- }span>
#include
所以，总结以上，拓扑排序实质上就是一种偏序到全序的排序算法。
实例2：
主要是参考cplusplus.com网站上的代码，具体网址是：http://www.cplusplus.com/articles/iNwTURfi/
以下是经过验证了的代码：
- <span style=“font-family:Comic Sans MS;”>#include <iostream>
- #include <vector>
- #include <string>
- #include <algorithm>
- using namespace std;
- class StringTopoSort
- {
- public :
- StringTopoSort(vector<string> [],int);
- ~StringTopoSort();
- vector<string> string_topo_sort();
- private :
- void visit(int index);
- int len;
- vector<string> * str_lists;
- vector<string> unsorted;
- vector<string> sorted;
- vector<int> * digit_eq;
- vector<int> digit_sorted;
- vector<bool> is_visited;
- };
- StringTopoSort :: StringTopoSort(vector<string> * _str_lists,int _len)
- {
- str_lists = _str_lists;
- len = _len;
- digit_eq = new vector<int>[len];
- for(int i =0; i<len;i++)
- {
- is_visited.push_back(false);
- unsorted.push_back(str_lists[i].at(0));
- }
- for(int i =0; i<len;i++)
- {
- for(vector<string>::iterator it = str_lists[i].begin(); it<str_lists[i].end();++it)
- {
- vector<string> :: iterator index = find(unsorted.begin(),unsorted.end(),*it);
- if(index != unsorted.end() )
- digit_eq[i].push_back(index-unsorted.begin());
- }
- }
- }
- StringTopoSort :: ~StringTopoSort() {}
- vector<string> StringTopoSort :: string_topo_sort()
- {
- for(int i =0;i<len; i++)
- {
- if(is_visited[i] == false)
- visit(i);
- }
- for(int i = 0; i<digit_sorted.size();i++)
- sorted.push_back(unsorted[digit_sorted[i]]);
- return sorted;
- }
- void StringTopoSort :: visit(int index)
- {
- is_visited[index] = true;
- for(vector<int>::iterator i = digit_eq[index].begin(); i<digit_eq[index].end(); i++)
- {
- if(!is_visited[*i])
- visit(*i);
- }
- digit_sorted.push_back(index);
- }
- int main(int argc, char ** argv)
- {
- vector<string> headers[] = {{“1”,”4”,”2”,”3”},{“2”},{“3”,”5”,”2”},\
- {“4”,”5”},{“5”},{“6”,”5”,”4”}}; //输入的数据为有向无环图的邻接表，出度的邻接表
- StringTopoSort sorter(headers,6);
- vector<string> sorted = sorter.string_topo_sort();
- // for(int i =0; i<sorted.size(); i++)
- // cout << sorted[i] << ” – ”;
- // for(vector <string>::iterator i=sorted.begin();i!=sorted.end();i++) //运用stl的迭代器进行顺序遍历
- // cout << *i << ”–”;
- // for(vector <string>::iterator i=sorted.end()-1;i!=sorted.begin();i–) //运用stl的迭代器进行反向遍历，会漏掉第1个元素
- // cout << *i << ”–”;
- vector <string>::iterator myi;
- myi=sorted.end();
- do
- {
- myi–;
- cout<<*myi<<“–”;
- }while(myi!=sorted.begin());//漏掉了sorted.begin()指向的元素
- cout << endl;
- return 0;
- }span>
#include
另外，此程序的拓扑排序原先输出了一个方向的顺序，然后我就直接逆向输出了。我暂时还不明白为什么会这样？先暂时留个疑问在这里。