K-D树

K-D树,即K-Dimensional Tree,是一种高维索引树型数据结构。常用于大规模高维数据空间的最邻近或者K邻

近查找,例如图像检索中高维图像特征向量的K邻近匹配,对KNN算法的优化等。

 

Contents

 

   1. K-D树的基本原理

   2. K-D树的改进(BBF算法)

   3. K-D树的C++实现

   4. K-D树的开源框架介绍

 

 

1. K-D树的基本原理

 

   K-D树实际上是一棵高维二叉搜索树,与普通二叉搜索树不同的是,树中存储的是一些K维数据。先回忆一下二

   叉搜索树(BST),它是一棵具有如下性质的树

 

   (1)若它的左子树不为空,那么左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值。

   (2)若它的右子树不为空。那么右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值。

   (3)它的左右子树也分别是一棵二叉搜索树。

 

   二叉搜索树在建树时,按照上述规则分别插入即可。而在搜索时,从根节点开始往下查找。可以看出二叉搜索

   树的建树平均时间复杂度为,最坏时间复杂度为,查找的平均时间复杂度为

   最坏时间复杂度为,由于二叉搜索树不是平衡的,可能退化为一条链,这种情况就是最坏情况了。

 

   普通的二叉搜索树是一维的,当推广到K维后,就是我们的K-D树了。在K-D树中跟二叉搜索树差不多,也是将

   一个K维的数据与根节点进行比较,然后划分的,这里的比较不是整体的比较,而是选择其中一个维度来进行比

   较。那么在K-D树中我们需要解决两个重要的问题

 

   (1)每一次划分时,应该选择哪个维度?

   (2)在某个维度上划分时,如何保证左右子树节点个数尽量相等?

 

   首先来看问题(1)每次划分时,应该选择哪个维度 ?

 

   最简单的做法就是一个维度一个维度轮流着来,但是仔细想想,这种方法不能很好地解决问题。假设有这样一

   种情况:我们需要切一个豆腐条,长度要远远大于宽度,要想把它切成尽量相同的小块,显然是先按照长度来

   切,这样更合理,如果宽度比较窄,那么这种效果更明显。所以在K-D树中,每次选取属性跨度最大的那个来

   进行划分,而衡量这个跨度的标准是什么? 无论是从数学上还是人的直观感受方面来说,如果某个属性的跨度

   越大,也就是说越分散,那么这组数据的方差就越大,所以在K-D树进行划分时,可以每次选择方差最大的属性

   来划分数据到左右子树。

 

   问题(1)已解决,现在再来看问题(2),在某个维度上划分时,如何保证左右子树节点个数尽量相等?

 

   当我们选择好划分的属性时,还要根据某个值来进行左右子树划分,而这个值就是一个划分轴,回忆一下,在快

   速排序算法中,也有一个划分轴pivot。在K-D树的划分中,这个轴的选取很关键,要保证划分后的左右子树尽

   量平衡,那么很显然选取这个属性的值对应数组的中位数作为pivot,就能保证这一点了。

 

   这样就解决了K-D树中最重要的两个问题。接下来看K-D树是如何进行查找的。

 

   假设现在已经构造好了一棵K-D树,最邻近查找的算法描述如下

 

   (1)将查询数据Q从根节点开始,按照Q与各个节点的比较结果向下遍历,直到到达叶子节点为止。到达叶子节

       点时,计算Q与叶子节点上保存的所有数据之间的距离,记录最小距离对应的数据点,假设当前最邻近点为

       p_cur,最小距离记为d_cur。

   (2)进行回溯操作,该操作的目的是找离Q更近的数据点,即在未访问过的分支里,是否还有离Q更近的点,它

       们的距离小于d_cur。

 

   以上就是K-D树的基本原理。

 

 

2. K-D树的改进(BBF算法)

 

   上述中的K-D树存在缺点,当维数比较大的时候,建树后的分支自然会增多,进而回溯的次数增加,算法效率会

   随之降低。在图像检索中,特征往往是高维的,很有必要对K-D树算法进行改进,这就是即将要介绍的BBF算法。

 

   BBF算法我就不详细说了,具体可以参考如下两篇文章

 

  (1)Kd-Tree算法原理和开源实现代码

   (2)从K近邻算法、距离度量谈到KD树、SIFT+BBF算法

 

 

3. K-D树的C++实现

 

   以HDU4347为例,给出K-D树的C++的简易代码。 题目:The Closest M Points

 

   代码:

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
 
#define N 50005
 
#define lson rt << 1
#define rson rt << 1 | 1
#define Pair pair
#define Sqrt2(x) (x) * (x)
 
int n, k, idx;
 
struct Node
{
    int feature[5];     //定义属性数组
    bool operator < (const Node &u) const
    {
        return feature[idx] < u.feature[idx];
    }
}_data[N];   //_data[]数组代表输入的数据
 
priority_queue Q;     //队列Q用于存放离p最近的m个数据
 
class KDTree{
 
    public:
        void Build(int, int, int, int);     //建树
        void Query(Node, int, int, int);    //查询
 
    private:
        Node data[4 * N];    //data[]数组代表K-D树的所有节点数据
        int flag[4 * N];      //用于标记某个节点是否存在,1表示存在,-1表示不存在
}kd;
 
//建树步骤,参数dept代表树的深度
void KDTree::Build(int l, int r, int rt, int dept)
{
    if(l > r) return;
    flag[rt] = 1;                   //表示编号为rt的节点存在
    flag[lson] = flag[rson] = -1;   //当前节点的孩子暂时标记不存在
    idx = dept % k;                 //按照编号为idx的属性进行划分
    int mid = (l + r) >> 1;
    nth_element(_data + l, _data + mid, _data + r + 1);   //nth_element()为STL中的函数
    data[rt] = _data[mid];
    Build(l, mid - 1, lson, dept + 1);  //递归左子树
    Build(mid + 1, r, rson, dept + 1);  //递归右子树
}
 
//查询函数,寻找离p最近的m个特征属性
void KDTree::Query(Node p, int m, int rt, int dept)
{
    if(flag[rt] == -1) return;   //不存在的节点不遍历
    Pair cur(0, data[rt]);       //获取当前节点的数据和到p的距离
    for(int i = 0; i < k; i++)
        cur.first += Sqrt2(cur.second.feature[i] - p.feature[i]);
    int dim = dept % k;          //跟建树一样,这样能保证相同节点的dim值不变
    bool fg = 0;                 //用于标记是否需要遍历右子树
    int x = lson;
    int y = rson;
    if(p.feature[dim] >= data[rt].feature[dim]) //数据p的第dim个特征值大于等于当前的数据,则需要进入右子树
        swap(x, y);
    if(~flag[x]) Query(p, m, x, dept + 1);      //如果节点x存在,则进入子树继续遍历
 
    //以下是回溯过程,维护一个优先队列
    if(Q.size() < m)   //如果队列没有满,则继续放入
    {
        Q.push(cur);
        fg = 1;
    }
    else
    {
        if(cur.first < Q.top().first)  //如果找到更小的距离,则用于替换队列Q中最大的距离的数据
        {
            Q.pop();
            Q.push(cur);
        }
        if(Sqrt2(p.feature[dim] - data[rt].feature[dim]) < Q.top().first)
        {
            fg = 1;
        }
    }
    if(~flag[y] && fg) 
        Query(p, m, y, dept + 1);
}
 
//输出结果
void Print(Node data)
{
    for(int i = 0; i < k; i++)
        printf("%d%c", data.feature[i], i == k - 1 ? '\n' : ' ');
}
 
int main()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &k)!=EOF)
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)
            for(int j = 0; j < k; j++)
                scanf("%d", &_data[i].feature[j]);
        kd.Build(0, n - 1, 1, 0);
        int t, m;
        scanf("%d", &t);
        while(t--)
        {
            Node p;
            for(int i = 0; i < k; i++)
                scanf("%d", &p.feature[i]);
            scanf("%d", &m);
            while(!Q.empty()) Q.pop();   //事先需要清空优先队列
            kd.Query(p, m, 1, 0);
            printf("the closest %d points are:\n", m);
            Node tmp[25];
            for(int i = 0; !Q.empty(); i++)
            {
                tmp[i] = Q.top().second;
                Q.pop();
            }
            for(int i = m - 1; i >= 0; i--)
                Print(tmp[i]);
        }
    }
    return 0;
}

 

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2966 

 

题意:给定n个二维点,求每个点距离其它点的最近的距离。其中n <= 100000。

 

代码:

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    final static int SIZE = 100005;
	final static double EPS = 1e-10;
    
    private boolean[] d = null;
    private Node[] p = null;
    private long res;
    private int index;
    private int size;
    
    public class Node{
        private long[] x = null;
        Node(){
            x = new long[2];
        }
    }
    
    Main(int size){
        d = new boolean[size];
        p = new Node[size];
        for(int i = 0; i < size; i++)
            p[i] = new Node();
    }

    public void setSize(int size){
        this.size = size;
		Arrays.fill(d, false);
    }
    
    public void clear(){
        res = Long.MAX_VALUE;
        index = 0;
    }
    
    public void Insert(int id, Node t){
        p[id] = t;
    }
    
    public Node get(int id){
        return p[id];
    }

    public void InsertSort(Node a[], int id, int l, int r){
		for(int i = l + 1; i <= r; i++){
			if(a[i - 1].x[id] > a[i].x[id]){
				Node t = new Node();
				t = a[i];
				int j = i;
				while(j > l && a[j - 1].x[id] > t.x[id])
	            {
	                a[j] = a[j - 1];
	                j--;
	            }
	            a[j] = t;
			}
		}
	}
	
	public Node FindMid(Node a[], int id, int l, int r)
	{
	    if(l == r) return a[l];
	    int i = 0;
	    int n = 0;
	    for(i = l; i < r - 5; i += 5)
	    {
	        InsertSort(a, id, i, i + 4);
	        n = i - l;

			Node t = new Node();
			t = a[l + n / 5];
			a[l + n / 5] = a[i + 2];
			a[i + 2] = t;
	    }

	    int num = r - i + 1;
	    if(num > 0)
	    {
	        InsertSort(a, id, i, i + num - 1);
	        n = i - l;

			Node t = new Node();
			t = a[l + n / 5];
            a[l + n / 5] = a[i + num / 2];
			a[i + num / 2] = t;
	    }
	    n /= 5;
	    if(n == l) return a[l];
	    return FindMid(a, id, l, l + n);
	}
	
	public boolean Equals(Node a, Node b){
		if(Math.abs(a.x[0] - b.x[0]) > EPS) 
			return false;
		if(Math.abs(a.x[1] - b.x[1]) > EPS) 
			return false;
		return true;
	}
	
	public int FindId(Node a[], int l, int r, Node num)
	{
	    for(int i = l; i <= r; i++)
	        if(Equals(a[i], num))
	        	return i;
	    return -1;
	}
	
	public int Partion(Node a[], int id, int l, int r, int p)
	{
	    Node t = new Node();
        t = a[p];
		a[p] = a[l];
		a[l] = t;

	    int i = l;
	    int j = r;
	    Node pivot = a[l];
	    while(i < j)
	    {
	        while(a[j].x[id] >= pivot.x[id] && i < j)
	            j--;
	        a[i] = a[j];
	        while(a[i].x[id] <= pivot.x[id] && i < j)
	            i++;
	        a[j] = a[i];
	    }
	    a[i] = pivot;
	    return i;
	}
	
	public Node BFPTR(Node a[], int id, int l, int r, int k)
	{
		if(l > r) return null;
	    Node num = FindMid(a, id, l, r);  
	    int p =  FindId(a, l, r, num); 
	    int i = Partion(a, id, l, r, p);

	    int m = i - l + 1;
	    if(m == k) return a[i];
	    if(m > k)  return BFPTR(a, id, l, i - 1, k);
	    return BFPTR(a, id, i + 1, r, k - m);
	}

    public Node getInterval(Node p[], int id, int l, int r){
        Node t = new Node();
        long max = Long.MIN_VALUE;
        long min = Long.MAX_VALUE;
        for(int i = l; i <= r; i++){
            if(max < p[i].x[id]) max = p[i].x[id];
            if(min > p[i].x[id]) min = p[i].x[id];
        }
        t.x[0] = min;
        t.x[1] = max;
        return t;
    }
    
    public long getDist(Node a, Node b){
        return (a.x[0] - b.x[0]) * (a.x[0] - b.x[0]) + (a.x[1] - b.x[1]) * (a.x[1] - b.x[1]);
    }

    public void Build(Node p[], int l, int r){
        if(l > r) return;
        Node t1 = getInterval(p, 0, l, r);
        long minx = t1.x[0];
        long maxx = t1.x[1];
        
        Node t2 = getInterval(p, 1, l, r);
        long miny = t2.x[0];
        long maxy = t2.x[1];
        
        int mid = (l + r) >> 1;
        d[mid] = (maxx - minx > maxy - miny);
        
        BFPTR(p, d[mid] ? 0 : 1, l, r, mid - l + 1);
        
        Build(p, l, mid - 1);
        Build(p, mid + 1, r);
    }
    
    public void Find(Node p[], Node t, int l, int r){
        if(l > r) return;
        int mid = (l + r) >> 1;
        
        long dist = getDist(p[mid], t);
        long df = d[mid] ? (t.x[0] - p[mid].x[0]) : (t.x[1] - p[mid].x[1]);
        
        if(dist > 0 && dist < res){
            res = dist;
            index = mid;
        }
        
        int l1 = l;
        int r1 = mid - 1;
        int l2 = mid + 1;
        int r2 = r;
        if (df > 0){

            l1 ^= l2;
            l2 ^= l1;
            l1 ^= l2;
            
            r1 ^= r2;
            r2 ^= r1;
            r1 ^= r2;
        }
        Find(p, t, l1, r1);
        if (df * df < res) Find(p, t, l2, r2);
    }
    
    public void Build(){
        Build(p, 0, size - 1);
    }
    
    public int Search(Node t){
        clear();
        Find(p, t, 0, size - 1);
        return index;
    }
    
    public static void main(String[] args){

        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int t = cin.nextInt();
        Main kd = new Main(SIZE);

		Node[] node = new Node[SIZE];
		for(int i = 0; i < SIZE; i++){
			 node[i] = kd.new Node();
		}

        while(t-- > 0){
            int n = cin.nextInt();
            kd.setSize(n);
            for(int i = 0; i < n; i++){
                node[i].x[0] = cin.nextLong();
                node[i].x[1] = cin.nextLong();
                kd.Insert(i, node[i]);
            }

            kd.Build();
            for(int i = 0; i < n; i++){
                int id = kd.Search(node[i]);
                System.out.println(kd.getDist(kd.get(id), node[i]));
            }
        }
        
    }
}

4. K-D树的开源框架介绍

 

   K-D树的一个比较好的C++框架可以戳这里。下载后,可以参考里面的examples文件夹中的代码学习使用。

 

 

 

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