线性代数导论6——列空间和零空间

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址： http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  

第六课时：列空间和零空间

特别关注矩阵的列空间和零空间

回忆什么是向量空间：就是一些向量，对一些运算封闭，空间内任何向量相加（加法），结果仍在空间内，或用空间内任意向量乘以常数（数乘），结果仍在空间内，即加法和数乘都是封闭的，那么线性组合必然也是封闭的。一种更简单的描述方法：所有线性组合，即任意倍的向量v与任意倍的向量w之和，仍在空间中。向量空间必包含原点。

什么是子空间：向量空间内的一些向量，它们属于母空间，但自身又构成向量空间，即，子空间是向量空间内的向量空间。任意两个子空间的交集S∩T仍然是子空间。

我们来看两个核心的子空间

一、矩阵列空间

如下例子，A的列空间是R4的子空间， 记为C(A)，抽象起来：A的列空间由A三个列向量的线性组合组合构成。

 

这个空间到底是什么样子？它等于整个四维空间吗？不等于，它只是相当于四维空间的一个较小的空间。

抽象背后的实际目的，都是为了深刻认识Ax=b，Ax=b是否对任意b（右侧向量）都有解？或者说，什么样的b使方程组有解？

Ax=b对任意b并不总有解，因为Ax=b中有四个方程，却只有三个未知数。方程组不总有解，因为3个列向量的线性组合无法充满整个四维空间，因此还有一大堆的b不是这三个列向量的线性组合。

但有时候是有解的，怎样的b，能让方程组有解，什么样的右侧向量有这种性质？什么b让方程组有解？（很重要）

1）b为零向量。Ax=0总有一个零解

2） b是列向量的线性组合。Ax=b有解，当且仅当右侧向量b属于A的列空间。（列空间包含所有A乘以任意x得到的向量，也就是包含所有有解的b）

列空间是非常核心的内容，它能告诉我何时方程组有解。

更深入一些的问题，以上三个列向量是否线性无关，是否有某个向量并没有起到作用，能否去掉某列，得到同样的列空间？上面的A，其实可以去掉第三列，因为第三列是前两列的和线性组合，我们把前两列称为A的 主列。其实，我们同样可以去掉第一列或者第二列，因为他们是其余两列的差线性组合。不过按照惯例，优先考虑靠前的线性无关向量。因此这里的A列空间可以描述为R4的二维子空间。

二、另一种向量空间——零空间Null space

零空间是一种完全不同的子空间。还是看上面A矩阵的例子

零空间中的关键字是：零，因此它包含Ax=0中所有的解x。现在关心的b只有一个，即b=0。

因为x是3分量向量，因此 本例零空间是R3的子空间（注意A列空间是R4子空间）。矩阵m×n，有n个列，即有n个未知数，以上为A4×3。

求解零空间

一般方法为消元法。但上式的解很容易看出来

怎样描述这个零空间，这里的 零空间是R3中穿过原点的一条直线。

回顾向量空间和子空间定义，我们怎么知道零空间是向量空间的，为什么它称为“空间”。

检验：Ax=0的解构成一个子空间，需要证明解满足空间的封闭规则，证明如下：

如下，考虑另外一个问题，右侧b向量取一个非0向量，此时x有解，（这时x的解不是零空间了），那么所有的x解构成子空间吗？很明显不构成子空间，或者说向量空间。因为很明显0向量不在这个空间内，没有0向量，就不用谈向量空间了（原因很明显，数乘运算中，常数取0时需要满足封闭规则）。

那么它的解是什么？（1 0 0），（0 -1 -1）。。。它实际上是一条不穿过原点的直线（或者在别的更普通的例子中是不穿过原点的平面）

以上两种子空间的总结：有两种方法构造子空间，其一是通过列的线性组合构造列空间，其二是求解向量必须满足的方程组来构造子空间（通过让x满足特定条件来得到子空间，Ax=0将构造出零空间）