学术问题：基

注：本文不再区分 线性空间(linear algebra) 与 向量空间(vector algebra)。

首先引入“基”(basis)的概念：（以下内容参考Wikipedia）

线性空间上的“基”

较严谨的定义

本部分参见：Wikipedia: Basis (linear algebra)

• 一个线性空间（linear space;又称向量空间,vector space;Wikipedia: Vector space）上的一组基这个线性空间的某个子集。

• 这组基的元素进行线性运算(Linear combination;Wikipedia: Linear combination)后的结果仍然属于原来的线性空间。

• 这个线性空间上所有的元素都有且只有一种可以由这组基上的元素进行线性运算得到的方式。

简单描述一下就是：

对于线性空间\(V\)，\(V\)上的一组基\(B\)，\(V\)上的线性运算\(f\)：

• \(B\subseteq V\)
• \(\forall f, f(B)\in V\)
• $\forall x\in V, \exists! f(B)=x $

通俗说明

一个通俗易懂的例子就是平面向量。在这里，“线性空间”是平面（或者说所有平面向量的集合），“基”是一组基底，“线性运算”是向量的线性运算。

然后我们发现这几条规定正好就是平面向量基本定理。

推广

本部分参见Wikipedia: Basis (universal algebra)

我们可以把线性代数中基的定义推广到通用代数（universal algebra;Wikipedia: Universal algebra）上。

• 一个集合\(S\)在运算\(f\)下的基\(I\)满足\(I\subseteq S\)(假设\(f\)接受一个大小为\(n\)的元素的集合，返回一个元素)
• 在\(I\)上任取\(n\)个元素作为\(f\)的操作数时得到的结果\(x\in S\)
• 对于任意一个\(x\in S\)，都有且仅有一个大小为\(n\)的子集\(I'\subseteq I\)满足\(f(I')=x\)

意义？

我们完全可以只用一组基和一个运算来代表原集合。而根据定义，基的元素个数是一定小于或等于原集合的。所以在一定意义上，这可以降低某些问题的时空复杂度。